Estremo superiore ed estremo inferiore

Salve, ho difficoltà nel dimostrare la seguente:
Sia $ A sube B $ due sottoinsiemi non vuoti della retta reale. Dimostrare che:
a) $text(inf) A >= text(inf) B$ ;
b) $text(sup) A <= text(sup) B$.

Grazie in anticipo

Quali sono le difficoltà?
Cosa hai provato?
Dove ti blocchi?

Ho ragionato così:
inf$A $ è il massimo dei minoranti di $ A $. I minoranti di $ A $ sono elementi di $ B $ che sono più grandi dell' inf$B $ . Ne segue che inf$B<=$inf$A $ .
Analogamente sup$A$ è il minimo dei maggioranti di $A$. I maggioranti di $A$ sono elementi di $B$ che sono sicuramente più piccoli del sup$B$. Ne segue che sup$B>=$sup$A$ .
Il mio dubbio sta nel sapere se è giusto argomentare una dimostrazione in questo modo o è troppo in ''italiano'' ?
Inoltre già che ci sono volevo chiedere se è giusto dimostrare il seguente così:
Siano $A_1 , A_2 $ sottoinsiemi della retta reale. Si suppone che $ A_1 nn A_2 != O/ $ , cosa si può dire di sup$(A_1 nn A_2)$ e inf$(A_1 nn A_2)$ ?
E io ho ragionato così (chiedo se è giusto):
Se si ordina l'intersezione tale che inf$A_1<=$inf$A_2$ e sup$A_1<=$sup$A_2$ allora avremo che:
il sup$(A_1 nn A_2)$ è uguale al sup$A_1$ ;
l'inf$(A_1 nn A_2)$ è uguale all'inf$A_2$.
Grazie per l'aiuto.

L’idea è quella che hai scritto o quasi, perché ci sono diverse inesattezze. Ad esempio:

I minoranti di $ A $ sono elementi di $ B $ […]

Perché? Questo non è vero in generale… Trova un controesempio.

Ne segue che $text(inf) B<= text(inf) A $

Questo non segue, perché lo stai tirando fuori da un fatto non vero in generale.

Sei sicuro che per ottenere $text(inf) B<= text(inf) A $ ti serva proprio che i minoranti di $A$ siano contenuti in $B$?
Se guardi bene, serve altro.

Il mio dubbio sta nel sapere se è giusto argomentare una dimostrazione in questo modo o è troppo in ''italiano'' ?

La Matematica è ragionamento, non formule. Se il ragionamento si esprime più facilmente in linguaggio naturale, piuttosto che con una formula, non c’è alcun problema.

Inoltre già che ci sono volevo chiedere se è giusto dimostrare il seguente così:
Siano $A_1 , A_2 $ sottoinsiemi della retta reale. Si suppone che $ A_1 nn A_2 != O/ $ , cosa si può dire di $text(sup) (A_1 nn A_2)$ e $text(inf) (A_1 nn A_2)$ ?
E io ho ragionato così (chiedo se è giusto):
Se si ordina l'intersezione tale che $text(inf) A_1<= text(inf) A_2$ e $text(sup) A_1<= text(sup) A_2$ […]

Questo non lo puoi fare in generale, perché i due insiemi sono assegnati… Riesci a trovare un esempio in cui quanto scrivi non è possibile?

[…] allora avremo che:
il $text(sup) ((A_1 nn A_2)$ è uguale al $text(sup) A_1$ ;
l'$text(inf) (A_1 nn A_2)$ è uguale all'$text(inf) A_2$.
Grazie per l'aiuto.

E vabbè, ma questo non è proprio quello che ti veniva chiesto, bensì un caso particolare che si può presentare.
In generale, che succede?


P.S.: Per inserire inf e sup puoi scrivere così:

Codice:

$text(inf) A$ e $text(sup) A$