Disuguaglianza di Bernoulli debole

[tetravalenza]

Ciao, sapreste dirmi se è corretto il seguente enunciato preso dal libro di Marcellini-Sbordone?

Per ogni numero reale \(x\geq-1\) e per ogni naturale n, risulta

\[
(1+x)^n\geq 1+nx
\]



Sulla Wikipedia invece le condizioni sono \(x>-1\) e \(n\geq 0\); in effetti stando al Marcellini se prendessi \(x=-1\) e \(n=0\) ottengo una diseguaglianza impossibile. È un errore di tipografia?

Ho letto questa discussione

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7&start=10

l'ultimo messaggio spiega benissimo l'induzione per dimostrare la formula, vale anche per la forma forte della disuguaglianza? Altrimenti che accorgimenti dovrei prendere?
\[
(1+x)^n > 1+nx, \forall x > -1 \wedge x \neq 0, n \geq 2
\]

[gugo82]

Capirai… Per $n=0$ la disuguaglianza si dimostra per $x> -1$ e poi passa al limite per $x -> -1$.

[dissonance]

Sono d'accordo che si tratta di un dettaglio senza importanza. Sicuramente il libro considera "naturali" i numeri interi a partire da \(1\), mentre Wikipedia li considera a partire da \(0\), una ambiguità vecchia come il cucco. L'unico caso dubbio è \(x=-1, n=0\), che però porta a \(0^0\), che non ha senso così com'è, e va interpretato come limite, come dice Gugo. Oppure, non va interpretato affatto, visto che tanto non serve a nulla; quella disuguaglianza è utile per \(n\) grandi.

[gugo82]

@dissonance: Non commettere l’errore di sottovalutare una disuguaglianza di convessità…

[tetravalenza]

L'unico caso dubbio è \(x=-1, n=0\), che però porta a \(0^0\), che non ha senso così com'è, e va interpretato come limite, come dice Gugo.

Il fatto è che io sto cercando di dimostrare la diseguaglianza con l'induzione, non con i limiti. Per questo ho chiesto chiarimenti sul fatto che il libro riportasse certe condizioni e la Wikipedia altre. Inoltre anche la forma forte ha altre condizioni che servono durante la dimostrazione.
Grazie per il chiarimento comunque.