Somma di intervallini.

[gugo82]

Allora hai proprio sbagliato ad impostare tutto lo OP.

A che ti servono $I$ e le decomposizioni $D$?
A niente, perché un pluriintervallo $P$, per essere individuato non ha bisogno di nessun intervallo fisso $I$ né di alcuna decomposizione $D$.

Si chiama pluriintervallo ogni insieme $P sub RR$ che è unione di un numero finito di intervalli $I_1, …, I_N$ limitati ed a due a due privi di punti interni in comune.
Quello che vuoi dimostrare, se non capisco male, è che se $ uu_(n=1)^N I_n = P = uu_(m=1)^M J_m$, allora la somma delle misure degli $I_n$ coincide con quella delle misure dei $J_m$, ossia (come si dice in gergo) che la misura di un pluriintervallo non dipende dalla sua rappresentazione come unione di intervalli.
Come puoi ragionare?

[galles90]

Quello che vuoi dimostrare, se non capisco male, è che se $ uu_(n=1)^N I_n = P = uu_(m=1)^M J_m$, allora la somma delle misure degli $I_n$ coincide con quella delle misure dei $J_m$, ossia (come si dice in gergo) che la misura di un pluriintervallo non dipende dalla sua rappresentazione come unione di intervalli.

Si esattamente

Come puoi ragionare?

Come ho fatto nel messaggio precedente.

[gugo82]

Come puoi ragionare?

Come ho fatto nel messaggio precedente.

Visto che le decomposizioni $D$, come detto, non c’entrano un granché, o ne fai a meno o le tiri in ballo con un discorso costruito bene.
Altrimenti quella dimostrazione lì non significa nulla.

[galles90]

Riporto la definizione di suddivisione di un intervallo limitato.
Sia $I subb RR$ limitato, del tipo $[a,b]$ con $a<b$ si definisce una suddivisione $D$ di $I$ una qualsiasi partizione di $I$ costituita da una famiglia ${I_k}_(k=1)^N$ di sottointervalli, tali che:

1) $I=bigcup_(k=1)^NI_k$
2) $I_k cap I_(k+1)= emptyset$

Se considero una suddivisione $D'$ più fitta rispetto a $D$ inoltre considerando la prima 1) ottengo:

$I=bigcup_(k=1)^NI_k=bigcup_(k=1)^MI'_k$

essendo che vale la relazione

$sum_(k=1)^2 m(I_k)=m(I_1)+m(I_2)=m(I_1 cup I_2)$

ottengo

$m(I)=sum_(k=1)^N m(I_k)=sum_(k=1)^Mm(I'_k)$

Forse ci sono ?

[gugo82]

Questo funziona, e può essere uno step per la dimostrazione che vuoi completare e che coinvolge i pluriintervalli (che non sono necessariamente intervalli).

[galles90]

Io pensavo che fosse finita ... quale parte è rimasta per concludere ?

[vict85]

La definizione non è totalmente corretta, seppur gli errori siano accettabili per un corso di teoria della misura.

Vedo almeno 2 errori. Il primo è che non hai imposto che gli intervalli siano ordinati. Quindi considerare la sola intersezione tra indici consecutivi non è abbastanza. Nota comunque che i punti 1 e 2 sono impliciti nel fatto che la famiglia è una partizione. D'altra parte, rimane il secondo errore: una partizione di un chiuso formata da sottospazi chiusi è possibile solo se il chiuso è disconnesso. Quindi, se vuoi che ogni intervallo sia chiuso, devi lasciare stare il concetto insiemistico di partizione e supporre che:
1) \(\displaystyle I=\bigcup_{k=1}^{N}I_k \)
2) \(\displaystyle I_k^{\mathrm{o}} \cap I_{k+1}^{\mathrm{o}} = \emptyset \)
3) \(\displaystyle I_k \cap I_{s} = \emptyset \) per \(k\neq s\pm 1\)

[vict85]

Sono andato a guardare la definizione del professore ed è corretta. Quindi cerca solo di stare più attento quando cerchi di riscrivere le cose in modo più formale.

Detto questo non è molto chiaro cosa intenda con plurintervallo, la semplice unione di un numero finito di intervalli chiusi?

[gugo82]

Detto questo non è molto chiaro cosa intenda con plurintervallo, la semplice unione di un numero finito di intervalli chiusi?

Sì.

[galles90]

Ciao vict85

Detto questo non è molto chiaro cosa intenda con plurintervallo, la semplice unione di un numero finito di intervalli chiusi?

Si, per pluriintervallo intendo l'unione di un numero finito di intervalli, tipo

$I=[a,x_0[ cup [x_0,x_1[ cup ... cup [x_(n-1),b].$

Sono andato a guardare la definizione del professore ed è corretta. Quindi cerca solo di stare più attento quando cerchi di riscrivere le cose in modo più formale.

Cercherò di essere più chiaro la prossima volta