Valore minimo della costante per verificare disequazione

[universo]

Un saluto a tutti.
Sto svolgendo gli esercizi proposti dal testo di Enrico Giusti, "Esercizi e Complementi di Analisi" vol. 1.
Non ho idea di come svolgere il seguente e cosa studiare per risolverlo:
Trovare il più piccolo valore della costante $\alpha$ per cui valgono le disuguaglianze:
$6xy <= 4x^2 + \alpha y^2$

Come già detto sopra non so nemmeno quale argomento rivedere. Devo sottolineare che uso il Soardi per la teoria e quindi i riferimenti del Giusti sono vani.

[gugo82]

Fondamentalmente, studio di funzione, forse… Ma anche disuguaglianze elementari.
Però, più che cose specifiche, ti serve conoscere un po’ di tecnica.

Innanzitutto, nota che deve essere $alpha >0$ (perché?).
Osserva che la disuguaglianza vale in automatico se $x$ ed $y$ sono discordi o se almeno uno dei due è nullo (perché?); quindi ti basta ragionare per $x$ ed $y$ concordi e non nulli.
Inoltre, la cosa vale per $x,y<0$ se e solo se vale per $x,y>0$ (di nuovo, perché?); quindi ti basta ragionare per $x,y>0$.
Visto che $y>0$, puoi dividere la disuguaglianza m.a.m. per $y$ ed ottenere una disuguaglianza equivalente che coinvolge l’unica variabile $t=x/y >0$; dunque il valore di $alpha$ che ti interessa è il massimo di un’opportuna funzione di $t$ definita in $]0,+oo[$ (quale funzione? Perché?).
Risolto il problema di massimo, hai finito.

[universo]

Se $x$ è nullo allora $\alpha$ deve essere non negativo. Se $y$ è nullo allora la disuguaglianza è vera $\forall x$. Se $x$ e $y$ sono di segno discorde deve essere che $\alpha$ è positivo o nullo oppure $6xy - \alpha y^2 < 4x^2$. Se $x$ e $y$ sono di segno concorde rimane il problema.

[gugo82]

Non capisco a cosa tu stia rispondendo...

[Elisa.r.90]

Partiamo da $6x<=4x^2+\alpha y^2$.
Portando tutto a destra puoi accorgerti che sostituendo al posto di $\alpha$ $9/4$ ottieni il quadrato di binomio $4x^2+\alpha y^2-6xy$. Ora, riprendi l'equazione di partenza e aggiungi a destra e a sinistra la quantità "$-4x^2-9/4y^2$". Otterrai:
$-4x^2-9/4 y^2+6xy<=\alpha y^2- 9/4 y^2$. Da cui:
$-(4x^2+ 9/4 y^2-6xy)<=y^2(\alpha-9/4)$.
$-((2x-3/2 y)/y)^2<=\alpha-9/4$.
Il membro a sinistra è sempre minore o al più uguale a 0 quando $2x=3/2y$, cioè quando $x=3/4y$.
Quindi la disuguaglianza è soddisfatta se $\alpha-9/4>=0$, cioè quando $\alpha>=9/4$.

Moderatore: Raptorista

Per questa volta ho aggiustato io le formule. Attenzione la prossima volta!