Integrale di Volume - Cambio di coordinate ed estremi

[jacques_leen]

Ciao a tutti,

ho un problema con questo esercizio:
Assegnato il solido $S = \{ (x,y,z) \in mathbb{R}^3: x^2 +y^2 \leq z \leq 3 - 2x \}$
1- Disegna $S$ e calcolane il volume
2- Data la frontiera $\partial S$ e la sua parte "superiore" $A$ parametrizzare quest'ultima in maniera tale che la normale sia uscente da $S$
3- Dato il campo $F : mathbb{R}^3 \rightarrow mathbb{R}^3$ $F = (-y, x, z^5 e^{-z^2})$, determinarne il lavoro sul bordo $\partial A$ orientato positivamente rispetto alla parametrizzazione in 2-

Sono bloccato già dal punto 1- in realtà.
Il solido in questione è dato dall'intersezione di un paraboloide di rotazione e un piano (non sto a riportare il disegno).
Per il calcolo del volume ho pensato di passare alle coordinate cilindriche
$x = r cos(t);$
$y= r sin(t);$
$z =z.$
in questo modo il solido è descritto da:
$S = \{ (r,t,z) \in mathbb{R}^3: r^2 \leq z \leq 3 - 2 r cos(t) \}$
con $0 \leq t\leq 2\pi$
non riesco però a capire come individuare gli estremi di integrazione per $r$ in funzione al più di $t$. Fatto questo se non sbaglio ricavare il volume si riduce alla risoluzione di in integrale triplo separato (avendo cura di riportare il determinante jacobiano per il passaggio a coordinate polari).

[jacques_leen]

alla fine sono arrivato a una soluzione. In particolare ho integrato per fili lungo le $z$ e poi ho indivudato il dominio $D$ su cui svolgere un integrale doppio. In particolare questo per l'espressione della superficie è dato dalla crf con centro (-1,0) e $r=2$. Da qui diventa un integrale doppio abbastanza semplice