ho la seguente caratterizzazione:
Proposizione
L'insieme $X$ è misurabile se e solo se, per ogni $epsilon$ esistono due plurintervalli $P_1,P_2$ con $P_1 subset X subset P_2 $ tale che
$m(P_2)-m(P_1)<epsilon$
Riporto quello che sono riuscito a fare, in primis scrivo le definizioni, di misura interna,esterna ed insieme misurabile, poi do la dimostrazione, segue:
1.Definizione
Sia $X$ sottoinsieme limitato di $RR$ Siano $m_i(X)$ e $m_e(X)$ misura interna, esterna di $X$ rispettivamente, definite come
$m_i(X)=text(sup){m(P_1): P_1 subset X},$
$m_e(X)=text(inf){m(P_2): X subset P_2}.$
2.Definizione
Se $m_i(X)=m_e(X)$ l'insieme $X$ dicesi misurabile, allora risulta
$m(X)=m_i(X)=m_e(X)$
Dimostrazione-proposizione:
1)
Sia $X$ misurabile, quindi risulta $m_i(X)=m_e(X)$ dalla definizione 1. e dalle proprietà dell'estremo sup. e inf. sia $epsilon>0$
a) $m_i(X)-epsilon/2<m(P_1)$
b) $m_e(X)+epsilon/2>m(P_2)$
dal momento che vale $m_i(X)=m_e(X)$ in a) risulta $m_e(X)-epsilon/2<m(P_1) to m_e(X)<m(P_1)+epsilon/2$
quindi $0<m_e(X)+epsilon/2-m(P_2)<m(P_1)+epsilon/2+epsilon/2-m(P_2)=m(P_1)-m(P_2)+epsilon$
dalla proprietà transita della relazione d'ordine si ha
$0<m(P_1)-m(P_2) +epsilon$
la quale è equivalente a $m(P_2)-m(P_1)<epsilon$
quindi la tesi.
2)
Se vale
$m(P_2)-m(P_1)<epsilon$
dalle proprieta del sup. e inf. si ha $m_i(X) ge m(P_1), \ m_e(X) le m(P_2) $ otteniamo
$0 le m_e(X) -m_i(x) le m(P_2) - m(P_1) < epsilon $
affinchè valga quest'ultima si deve avere che $m_i(X)=m_e(X)$ cioè $X$ misurabile, quindi si ha la tesi.
Va bene ?