Problema di minimo vincolato

Messaggioda riccardo.direnzo » 24/05/2019, 10:46

Ciao ragazzi, devo risolvere un problema di minimo vincolato, ma vorrei un aiuto per risolvere il sistema che ho alla fine.
Imposto funzione obiettivo e vincolo, rispettivamente
$ minf(x,y)= sigma_1^2x^2+sigma_2^2y^2+2sigma_(1,2)xy $
$ g(x,y)=x+y-1 $
Scrivo la Lagrangiana $ L(x,y,lambda)= f(x,y)-lambdag(x,y) = sigma_1^2x^2+sigma_2^2y^2+2sigma_(1,2)xy - lambda(x+y-1) $ imponendo il $ gradL=0 $ e ottengo il seguente sistema
$ { ( d/dx L(x,y,lambda) = 0 ),( d/dy L(x,y,lambda) = 0 ),( d/(dlambda) L(x,y,lambda) = 0 ):} hArr { ( 2sigma_1^2x + sigma(1,2)y - lambda = 0 ),( 2sigma_2^2y + sigma(1,2)x - lambda = 0 ),( -x-y+1 ):} hArr { ( x=lambda/(2sigma_1^2) - sigma_(1,2)/(2sigma_1^2) y ),( y=lambda/(2sigma_2^2) - sigma_(1,2)/(2sigma_2^2) x ),( x+y=1 ):} $
Ho provato a risolverlo per sostituzione ma mi viene una roba assurda, c'è un modo più pratico e veloce? Non so, provo a parametrizzare qualcosa? Idee? Grazie!
riccardo.direnzo
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Re: Problema di minimo vincolato

Messaggioda pilloeffe » 24/05/2019, 18:11

Ciao riccardo.direnzo,

Mah, la funzione proposta è $z = f(x, y) = sigma_1^2x^2+sigma_2^2y^2+2sigma_(1,2)xy $ ed il vincolo $g(x, y) = 0 $ è una retta, quindi io eviterei proprio la lagrangiana ed andrei a sostituire direttamente $y = - x + 1 $ nella funzione $z = f(x, y) $ ottenendo così la funzione di una sola variabile $z = z(x) = f(x, - x + 1) $ della quale non dovresti avere problemi a trovare il minimo... :wink:
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Re: Problema di minimo vincolato

Messaggioda riccardo.direnzo » 24/05/2019, 20:00

Ok, allora pongo $ x=1-y $ e calcolo $ f(y)= sigma_1^2y^2+sigma_2^2(1-y)^2+2sigma_{1,2}(1-y)y = sigma_1^2y^2+sigma_2^2+sigma_2^2y^2-2sigma_2^2y+2sigma_(1,2)y-2sigma_(1,2)y^2 = (sigma_1^2+sigma_2^2-2sigma_(1,2))y^2+(2sigma_(1,2)-2sigma_2^2)y+sigma_2^2 $
calcolo $ D[(sigma_1^2+sigma_2^2-2sigma_(1,2))y^2+(2sigma_(1,2)-2sigma_2^2)y+sigma_2^2] = 0 hArr 2(sigma_1^2+sigma_2^2-2sigma_(1,2))y+2(sigma_(1,2)-sigma_2^2)=0 hArr y= (sigma_2^2-sigma_(1,2))/(sigma_1^2+sigma_2^2-2sigma_(1,2)) $ vabbè poi faccio le dovute sostituzioni nella funzione per trovare l'altra coordinata del punto di min.
Però, scusa l'insistenza, tornando alla lagrangiana, volendo provare a risolvere quel sistema, ti viene in mente qualche espediente per semplificare i calcoli di quel sistema?
riccardo.direnzo
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Re: Problema di minimo vincolato

Messaggioda Quinzio » 24/05/2019, 22:58

Non mi sembra poi tutto questo sforzo... :roll:

$ { ( 2sigma_1^2x + sigma_(1,2)y - lambda = 0 ),( 2sigma_2^2y + sigma_(1,2)x - lambda = 0 ),( -x-y+1 ):} $

$ { ( (2sigma_1^2 - sigma_(1,2))x + (sigma_(1,2) -2sigma_2^2 )y = 0 ), ( -x-y+1 ):} $

$ (2sigma_1^2 - sigma_(1,2))x + (sigma_(1,2) -2sigma_2^2 )(1-x) = 0 $

...
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