Differenziabilità - esercizio

Messaggioda JustBreathe » 04/06/2019, 10:08

Buongiorno,

Ho una domanda per voi. Vi propongo un esercizio che non riesco a risolvere.


Sia $f(x,y)= min {(x-1)(y-1) ; (x+1)(y+1)}.$
Scrivere i punti di non differenziabilità di $f$ su $RR^2$.

Studiando un po' la funzione, si nota che la retta $y=-x$ è il "luogo di confine" delle due funzioni che fanno parte della funzione $min$.
Dato che i punti lungo questa retta sono gli unici punti sospetti, provo a dimostrare che la funzione non è ivi differenziabile.
Prendo un punto arbitrario appartenente ad essa, il punto $(0,0)$.

Facendo il limite classico per provare la differenziabilità (limite che deve esistere ed essere uguale a zero), ottengo per l'appunto il limite $lim_((x,y)->(0,0))((xy)/sqrt(x^2+y^2))$ $=0$

Dalla mia risoluzione, la funzione risulta essere differenziabile nel punto $(0,0)$. Eppure, dalla soluzione del libro, $f$ non è differenziabile sulla retta $y=-x$.
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Re: Differenziabilità - esercizio

Messaggioda gugo82 » 04/06/2019, 13:55

JustBreathe ha scritto:Sia $f(x,y)= min {(x-1)(y-1) ; (x+1)(y+1)}.$
Scrivere i punti di non differenziabilità di $f$ su $RR^2$.

Studiando un po' la funzione, si nota che la retta $y=-x$ è il "luogo di confine" delle due funzioni che fanno parte della funzione $min$.
Dato che i punti lungo questa retta sono gli unici punti sospetti, provo a dimostrare che la funzione non è ivi differenziabile.
Prendo un punto arbitrario appartenente ad essa, il punto $(0,0)$.

Facendo il limite classico per provare la differenziabilità (limite che deve esistere ed essere uguale a zero), ottengo per l'appunto il limite $lim_((x,y)->(0,0))((xy)/sqrt(x^2+y^2))$ $=0$

Da un sacchetto tutto nero estraggo una caramella a menta.
Posso essere sicuro che nel sacchetto ci siano solo caramelle a menta? O che ci siano solo caramelle?

JustBreathe ha scritto:Dalla mia risoluzione, la funzione risulta essere differenziabile nel punto $(0,0)$. Eppure, dalla soluzione del libro, $f$ non è differenziabile sulla retta $y=-x$.

A parte rispondere alla questione di cui sopra, facci vedere i calcoli.
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Re: Differenziabilità - esercizio

Messaggioda JustBreathe » 04/06/2019, 15:19

gugo82 ha scritto:Da un sacchetto tutto nero estraggo una caramella a menta.
Posso essere sicuro che nel sacchetto ci siano solo caramelle a menta? O che ci siano solo caramelle?

A parte rispondere alla questione di cui sopra, facci vedere i calcoli.


Purtroppo però dalla soluzione del mio libro di testo, la funzione risulta non differenziabile lungo tutta la retta $y=-x$, ed il punto $(0,0)$ appartiene a questa retta.
Giustamente però mi fai notare che la mia strategia iniziale è un po' sciocca.

I miei calcoli sono questi (utilizzo il limite classico per provare la differenziabilità, limite che deve esistere ed essere uguale a zero):

$lim_((x,y)->(0,0))((x-1)(y-1)- x - y - o(sqrt(x^2 +y^2))) $ $=0$
$lim_((x,y)->(0,0))(xy - o(sqrt(x^2 +y^2))) $ $=0$
$lim_((x,y)->(0,0))((xy) / (sqrt(x^2 + y^2))) $ $=0$

L'ultimo limite l'ho verificato passando alle coordinate polari e maggiorando con la funzione $\rho$ , dimostrando che appunto il limite è uguale a zero.
La funzione, secondo i miei calcoli, risulta ivi differenziabile.

Personalmente ho sempre verificato la differenziabilità di una funzione in un punto grazie al limite.
Come potrei fare per verificarla in una retta, in un insieme generico di punti?
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Re: Differenziabilità - esercizio

Messaggioda dissonance » 05/06/2019, 09:05

Non mi pare una strategia sciocca, va bene iniziare da qualche parte quando non si ha idea di dove ci si trovi.

Io però lo vedo fatto male. Questo "limite classico per provare la differenziabilità", che cosa sarebbe? Non dovresti calcolare prima le derivate parziali, per impostarlo? Inoltre, mi pare che tu, alla fin fine, non stia facendo altro che studiare la funzione \((x-1)(y-1)\), perché solo quell'espressione appare nel limite che calcoli. E grazie a Ciccillo che ti viene differenziabile! (Come dicono a Foggia).
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Re: Differenziabilità - esercizio

Messaggioda JustBreathe » 09/06/2019, 19:37

dissonance ha scritto:Non mi pare una strategia sciocca, va bene iniziare da qualche parte quando non si ha idea di dove ci si trovi.

Io però lo vedo fatto male. Questo "limite classico per provare la differenziabilità", che cosa sarebbe? Non dovresti calcolare prima le derivate parziali, per impostarlo? Inoltre, mi pare che tu, alla fin fine, non stia facendo altro che studiare la funzione \((x-1)(y-1)\), perché solo quell'espressione appare nel limite che calcoli. E grazie a Ciccillo che ti viene differenziabile! (Come dicono a Foggia).


Ottima osservazione.
Purtroppo ho appena verificato che anche l'altra funzione risulta essere differenziabile.
Ci deve essere qualcosa che ho sbagliato, ma non so cosa. Chiederò domani ad un amico, aggiornerò il post se scopro qualcosa
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Re: Differenziabilità - esercizio

Messaggioda dissonance » 09/06/2019, 22:27

Certo che hai sbagliato. Stai studiando le due funzioni una alla volta. No. Devi studiare il loro massimo.

Chiedi pure all'amico, ma soprattutto ragiona con la tua testa.
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Re: Differenziabilità - esercizio

Messaggioda JustBreathe » 10/06/2019, 19:05

dissonance ha scritto:Certo che hai sbagliato. Stai studiando le due funzioni una alla volta. No. Devi studiare il loro massimo.

Chiedi pure all'amico, ma soprattutto ragiona con la tua testa.


Caro dissonance,
mi duole informarti che neanche il mio amico è riuscito a cavare un ragno dal buco. Pensavo che due teste riuscissero a combinare qualcosa, mi sbagliavo.
Abbiamo capito, come hai ben precisato, che stiamo "barando" nello studiare le due funzioni separatamente.
Cosa intendi con "studiare il loro massimo"?
Se hai tempo e voglia spiegacelo perfavore, non riusciamo a venirne fuori!
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Re: Differenziabilità - esercizio

Messaggioda dissonance » 11/06/2019, 08:26

Immaginavo che sarebbe finita così. Non sono molto partidario dello studio collettivo, a questo livello. (A livello avanzato invece si). Bisogna ragionare da soli, con calma, con la propria testa.

Comunque, adesso non mi va di studiare la funzione assegnata, ma vedo di spendere due parole su una cosa simile, ma più semplice;
\[\tag{1}
g(x, y):=\max(x, y), \qquad \forall (x, y)\in\mathbb R^2.\]
Per studiare questa funzione, la prima cosa da fare è determinarne una espressione meno compatta, ma più maneggevole:
\[
g(x,y)=\begin{cases} x, & x\ge y\\ y, & x<y.\end{cases}\]
Questa espressione mostra chiaramente che, nella regione aperta \(\{(x, y)\ :\ x>y\}\), si ha \(g(x, y)=x\), quindi in tale regione \(g\) è continua e differenziabile a volontà. (NOTA BENE: Qui abbiamo usato un importante teorema, secondo il quale se due funzioni coincidono su un insieme aperto, allora su tale insieme esse hanno le stesse proprietà di continuità e di differenziabilità). Stesso discorso su \(\{x<y\}\). Quindi occorre studiare che succede sulla retta di equazione \(x=y\).

Quindi consideriamo un punto \((x_0, x_0)\) su tale retta. Che \(g\) sia continua in tale punto è abbastanza chiaro, non mettiamoci a dimostrarlo. Studiamo invece la differenziabilità. Per prima cosa, dobbiamo calcolare le derivate parziali, prima ancora di poter impostare
il limite classico per provare la differenziabilità

che tu, prima,hai evidentemente scritto a pappagallo, senza avere davvero capito cosa stai facendo. Dobbiamo quindi studiare i limiti
\[\begin{array}{cc}
\lim_{h\to 0} \frac{g(x_0+h, x_0)-g(x_0, x_0)}{h}, & \lim_{k\to 0} \frac{g(x_0, x_0+k)-g(x_0, x_0)}{k}.
\end{array}\]
E qui ci siamo ricondotti a due limiti per funzioni di una sola variabile. Tocca dividerli in limite destro e limite sinistro; si ha, infatti, usando la (1),
\[
\lim_{h\to 0^+} \frac{g(x_0+h, x_0)-g(x_0, x_0)}{h}=\lim_{h\to 0^+} \frac{ x_0+h-x_0}{h}=1, \]
mentre invece
\[
\lim_{h\to 0^-}\frac{g(x_0+h, x_0)-g(x_0, x_0)}{h}=\ldots\]
Continua tu, per favore.
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Re: Differenziabilità - esercizio

Messaggioda JustBreathe » 12/06/2019, 15:24

dissonance ha scritto:Continua tu, per favore.


..$=-1$

Dissonance ti ringrazio di cuore, chiarissimo!
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Re: Differenziabilità - esercizio

Messaggioda dissonance » 12/06/2019, 17:01

Quindi, questo ti dice che la funzione non è neanche derivabile rispetto alle variabili \(x\) e \(y\).
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