Immaginavo che sarebbe finita così. Non sono molto partidario dello studio collettivo, a questo livello. (A livello avanzato invece si). Bisogna ragionare
da soli, con calma, con la propria testa.
Comunque, adesso non mi va di studiare la funzione assegnata, ma vedo di spendere due parole su una cosa simile, ma più semplice;
\[\tag{1}
g(x, y):=\max(x, y), \qquad \forall (x, y)\in\mathbb R^2.\]
Per studiare questa funzione, la prima cosa da fare è determinarne una espressione meno compatta, ma più maneggevole:
\[
g(x,y)=\begin{cases} x, & x\ge y\\ y, & x<y.\end{cases}\]
Questa espressione mostra chiaramente che, nella regione aperta \(\{(x, y)\ :\ x>y\}\), si ha \(g(x, y)=x\), quindi in tale regione \(g\) è continua e differenziabile a volontà. (NOTA BENE: Qui abbiamo usato un importante teorema, secondo il quale se due funzioni coincidono
su un insieme aperto, allora su tale insieme esse hanno le stesse proprietà di continuità e di differenziabilità). Stesso discorso su \(\{x<y\}\). Quindi occorre studiare che succede sulla retta di equazione \(x=y\).
Quindi consideriamo un punto \((x_0, x_0)\) su tale retta. Che \(g\) sia continua in tale punto è abbastanza chiaro, non mettiamoci a dimostrarlo. Studiamo invece la differenziabilità. Per prima cosa, dobbiamo calcolare
le derivate parziali, prima ancora di poter impostare
il limite classico per provare la differenziabilità
che tu, prima,hai evidentemente scritto a pappagallo, senza avere davvero capito cosa stai facendo. Dobbiamo quindi studiare i limiti
\[\begin{array}{cc}
\lim_{h\to 0} \frac{g(x_0+h, x_0)-g(x_0, x_0)}{h}, & \lim_{k\to 0} \frac{g(x_0, x_0+k)-g(x_0, x_0)}{k}.
\end{array}\]
E qui ci siamo ricondotti a due limiti per funzioni di una sola variabile. Tocca dividerli in limite destro e limite sinistro; si ha, infatti, usando la (1),
\[
\lim_{h\to 0^+} \frac{g(x_0+h, x_0)-g(x_0, x_0)}{h}=\lim_{h\to 0^+} \frac{ x_0+h-x_0}{h}=1, \]
mentre invece
\[
\lim_{h\to 0^-}\frac{g(x_0+h, x_0)-g(x_0, x_0)}{h}=\ldots\]
Continua tu, per favore.