Differenziabilità - esercizio
Inviato: 04/06/2019, 10:08
Buongiorno,
Ho una domanda per voi. Vi propongo un esercizio che non riesco a risolvere.
Sia $f(x,y)= min {(x-1)(y-1) ; (x+1)(y+1)}.$
Scrivere i punti di non differenziabilità di $f$ su $RR^2$.
Studiando un po' la funzione, si nota che la retta $y=-x$ è il "luogo di confine" delle due funzioni che fanno parte della funzione $min$.
Dato che i punti lungo questa retta sono gli unici punti sospetti, provo a dimostrare che la funzione non è ivi differenziabile.
Prendo un punto arbitrario appartenente ad essa, il punto $(0,0)$.
Facendo il limite classico per provare la differenziabilità (limite che deve esistere ed essere uguale a zero), ottengo per l'appunto il limite $lim_((x,y)->(0,0))((xy)/sqrt(x^2+y^2))$ $=0$
Dalla mia risoluzione, la funzione risulta essere differenziabile nel punto $(0,0)$. Eppure, dalla soluzione del libro, $f$ non è differenziabile sulla retta $y=-x$.
Ho una domanda per voi. Vi propongo un esercizio che non riesco a risolvere.
Sia $f(x,y)= min {(x-1)(y-1) ; (x+1)(y+1)}.$
Scrivere i punti di non differenziabilità di $f$ su $RR^2$.
Studiando un po' la funzione, si nota che la retta $y=-x$ è il "luogo di confine" delle due funzioni che fanno parte della funzione $min$.
Dato che i punti lungo questa retta sono gli unici punti sospetti, provo a dimostrare che la funzione non è ivi differenziabile.
Prendo un punto arbitrario appartenente ad essa, il punto $(0,0)$.
Facendo il limite classico per provare la differenziabilità (limite che deve esistere ed essere uguale a zero), ottengo per l'appunto il limite $lim_((x,y)->(0,0))((xy)/sqrt(x^2+y^2))$ $=0$
Dalla mia risoluzione, la funzione risulta essere differenziabile nel punto $(0,0)$. Eppure, dalla soluzione del libro, $f$ non è differenziabile sulla retta $y=-x$.