finzione lipschitziana

[Smon97]

dimostrare che la funzione $f(x)=e^x$ è lipschitziana in $[-1,1]$. Lo è anche in $]-oo, +oo[$?

l ho svolto così

$f'(x)=e^x$

$lim_(x->-1) f'(x)= 1/e$

$lim_(x->+1) f'(x)= e$

poichè $f'(x)$ è limitata in $[-1,1] => f(x)$ è lipschitziana in $[-1,1]$

invece per quanto riguarda l'intervallo $]-oo, +oo[$ ho dei dubbi:

$lim_(x->-oo) f'(x)= 0$

$lim_(x->+oo) f'(x)= +oo$

basta dire che poichè le derivate non sono limitate f(x) non è lipschitziana in $]-oo,+oo[$ ?

[Flamber]

Per il secondo caso penso che sia sufficiente ricorrere alla definizione, cioè che non esiste un $Kin(-oo,+oo) : K="sup"(f'(x))$

inoltre puoi anche vederla in un altro modo, $K$ in qualsiasi intervallo $(a,b)$ per la funzione $f=e^x$ è sempre uguale a $e^b$.

[Smon97]

perfetto grazie

[gugo82]

Scusa Smon97, cosa ha a che fare l'esistenza dei limiti agli estremi di $[-1,1]$ con la limitatezza?

[Smon97]

Abbiamo sempre fatto così. Se la funzione derivata nell'intervallo richiesto è limitata allora è lipschiziana.

[gugo82]

Bene, ma non hai risposto alla domanda.

[Smon97]

No, non capito

[gugo82]

cosa ha a che fare l'esistenza dei limiti agli estremi di $[-1,1]$ con la limitatezza?

[dissonance]

@Smon97: Io ti consiglio di dare retta a Gugo, rifletti attentamente su ciò che ti ha chiesto e rispondigli con calma. Probabilmente sta emergendo una tua lacuna.

[Smon97]

Si appunto, è una mia lacuna. l'ho sempre fatto così senza sapere il vero motivo. penso perchè essendo limitata la funzione esiste un k appartenente all'intervallo tale che k è proprio l'estremo superiore della f'(x)
Qual è il motivo corretto ? o comunque dove posso studiarlo in modo approfondito?