Serie di potenze: chiarimenti

[Jaeger90]

Ciao, da poco studio le serie di potenze per analisi 1 ed ho qualche dubbio che riguarda:

- Il mio testo di esercizi parla di convergenza assolutamente puntuale, è diversa da quella puntuale?

- I termini di partenza (a volte da 0 e 1), che non so come influiscano in tutti i casi possibili, cioè a prescindere da ciò che si deve calcolare o verificare.

- nel caso in cui in una serie di potenze ho un termine con $(-1)^(k+-2)$, posso elidere il -2? Vedo che in alcuni esercizi viene lasciato e mi sembra che complichi i passaggi senza motivo, dato che poi se per le proprietà delle potenze lo porto a denominatore si semplifica..

- La somma della serie di potenze, che so si possono svolgere riconducendosi a relativi termini che risultano dallo sviluppo in serie di taylor. Tuttavia ho letto che si deve prima verificare che alcune condizioni siano "soddisfatte", ma non so cosa di preciso.

Ad esempio ho visto un esercizio che chiede di calcolare convergenza, raggio, insieme di convergenza puntuale ed uniforme e somma della serie di potenze:

$ sum_(k = 1)^(+oo) (-1)^(k-2)*(2x)^k/k$

dove, dopo aver fatto vari altri passaggi con $t=2x$ e aver trovato $R=1$ ed aver studiato i caratteri
$ |t|<1 => (-1/2<x<1/2]$ -> Convergenza puntuale
$ [-k,k]$ -> Convergenza uniforme

ho la serie di potenze

$ sum_(k = 1)^(+oo) (-1)^(k-2)*t^k/k$
e per calcolarne la somma vedo che somiglia allo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo
$log(1+t) = sum_(k = 1)^(+oo) (-1)^(k+1)*t^k/k$
e l'esercizio dice che questo sviluppo è utilizzabile in quanto si ha convergenza puntuale per $|t|<1$, ma da dove esce questo requisito e perché? Ce ne sono altri?

Grazie.

[pilloeffe]

Ciao Jaeger90,

- Il mio testo di esercizi parla di convergenza assolutamente puntuale, è diversa da quella puntuale?

Lo schema è quello riportato qui, che ti riporto per tua maggiore comodità:

Convergenza assoluta puntuale $\implies $ Convergenza puntuale
\( \displaystyle \qquad \qquad \Uparrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Uparrow \)
Convergenza assoluta uniforme $\implies $ Convergenza uniforme
\( \displaystyle \qquad \qquad \Uparrow \)
Convergenza totale

I termini di partenza (a volte da 0 e 1), che non so come influiscano in tutti i casi possibili, cioè a prescindere da ciò che si deve calcolare o verificare.

Beh, dipende da come è fatta la serie: è chiaro che se ad esempio a denominatore di $a_n $ c'è $n $, la serie non potrà partire da $0 $ altrimenti si annullerebbe il denominatore. Esempio: $\sum_{n = 1}^{+infty} 1/n^2 $ e non $ \sum_{n = 0}^{+infty} 1/n^2 $
Per quanto riguarda il carattere di una serie, dovresti sapere che esso non cambia aggiungendo o togliendo qualche termine. Esempio: la serie $\sum_{n = 1}^{+infty} 1/n $ e la serie $ \sum_{n = 23}^{+infty} 1/n $ sono entrambe divergenti a $+infty$

nel caso in cui in una serie di potenze ho un termine con $(−1)^{k \pm 2}$, posso elidere il $\pm 2 $?

Se ti dà fastidio sì, d'altronde si ha:
$(- 1)^{k + 2} = (- 1)^k \cdot (-1)^2 = (-1)^k $
$(-1)^{k - 2} = (- 1)^k /(-1)^2 = (-1)^k $

ho la serie di potenze $ \sum_{k = 1}^{+\infty} (-1)^(k-2) t^k/k $

Qui farei così:

$ \sum_{k = 1}^{+\infty} (-1)^(k-2) t^k/k = \sum_{k = 1}^{+\infty} (-1)^k t^k/k = - \sum_{k = 1}^{+\infty} (-1)^{k + 1} t^k/k = - ln(1 + t) = ln(1/(1 + t)) $

per $ - 1 < t <= 1 $

[Jaeger90]

per $ - 1 < t <= 1 $

E' questo il dubbio.
Perchè questo sia valido, e cioè per poter utilizzare lo sviluppo di McLaurin a quella serie, devo avere che la serie deve convergere puntualmente nell'intervallo aperto corrispondente all'intervallo della serie di McLaurin? Per quale motivo?

Per quanto riguarda la convergenza io trovo solo sia sui testi che online che

Totale => Uniforme => Puntuale

ma non trovo differenze tra assolutamente puntuale/puntuale ed assolutamente uniforme/uniforme.

E la convergenza assoluta per le serie numeriche a segno alterno dovrebbe essere scollegata da questo.

[Jaeger90]

Up.

[gugo82]

Cosa di preciso vuoi sapere?

[Jaeger90]

per $ - 1 < t <= 1 $

E' questo il dubbio.
Perchè questo sia valido, e cioè per poter utilizzare lo sviluppo di McLaurin a quella serie, devo avere che la serie deve convergere puntualmente nell'intervallo aperto corrispondente all'intervallo della serie di McLaurin? Per quale motivo?

Per quanto riguarda la convergenza io trovo solo sia sui testi che online che

Totale => Uniforme => Puntuale

ma non trovo differenze tra assolutamente puntuale/puntuale ed assolutamente uniforme/uniforme.

E la convergenza assoluta per le serie numeriche a segno alterno dovrebbe essere scollegata da questo.

Questa parte.

[gugo82]

Cioè, non conosci la differenza tra convergenza e convergenza assoluta?
Mi pare strano...

[Jaeger90]

Quella non è un problema in se. Il problema è cosa significhi assolutamente puntuale o assolutamente uniforme.

Poi non trovo il motivo per cui per poter utilizzare lo sviluppo di McLaurin a quella serie, devo avere che la serie deve convergere puntualmente nell'intervallo aperto corrispondente all'intervallo della serie di McLaurin, o se ci sono anche altre condizioni del genere oltre alla convergenza puntuale.

[gugo82]

Quella non è un problema in se. Il problema è cosa significhi assolutamente puntuale o assolutamente uniforme.

Secondo te?

Assolutamente puntuale (una locuzione che mi fa personalmente ribrezzo, preferisco dire "convergenza assoluta puntuale") significa che per ogni $x in I$ converge la serie $sum |f_n (x)|$.
Assolutamente uniforme (una locuzione che mi fa personalmente ribrezzo, preferisco dire "convergenza uniforme dei moduli") significa che $sum |f_n|$ converge uniformemente in $I$.

Poi non trovo il motivo per cui per poter utilizzare lo sviluppo di McLaurin a quella serie, devo avere che la serie deve convergere puntualmente nell'intervallo aperto corrispondente all'intervallo della serie di McLaurin, o se ci sono anche altre condizioni del genere oltre alla convergenza puntuale.

Non si capisce cosa vuoi.
Se vuoi usare un teorema (quello di derivazione termine a termine) devi essere sicuro che le sue ipotesi siano soddisfatte. Quali sono le ipotesi?

[Jaeger90]

Assolutamente puntuale (una locuzione che mi fa personalmente ribrezzo, preferisco dire "convergenza assoluta puntuale") significa che per ogni $x in I$ converge la serie $sum |f_n (x)|$.

Con "converge" sottointendi puntualmente, giusto?

Se vuoi usare un teorema (quello di derivazione termine a termine) devi essere sicuro che le sue ipotesi siano soddisfatte. Quali sono le ipotesi?

Un attimo, da dove esce il teorema di derivazione termine a termine?
La serie viene riscritta direttamente come somma dello sviluppo in serie di Mclaurin (che so essere l'unico modo per effettuare la somma), ma non so dove trovare le varie ipotesi, come in questo caso che si abbia una precisa convergenza puntuale.
Ed a proposito di teorema di derivazione, come avevo chiesto in questo topic, non mi è chiaro come mai ci si possa ricondurre allo studio della serie derivata, e studiare essa.
Il teorema di derivazione per serie di potenze dice che la serie derivata ha stesso raggio di convergenza della serie di partenza.
Ma non trovo come questo significhi che allora entrambe le serie (di partenza e derivata), convergono puntualmente, assolutamente, uniformemente, totalmente allo stesso intervallo e abbiano la stessa somma.

Grazie.