limite

[cri98]

$ lim_x -> 0(cos^3sqrt(x)-root(3)(cos(x))) /x^(2/3) $
l'unico modo per risolvere questo limite sono utilizzare gli sviluppi di taylor?

$ cos(x)=x-x^2/2+x^4/24 $
come sviluppo $cos^3sqrt(x)=1-3/2x+7/8x^2-61/240x^3+....$
non so come calcolare lo sviluppo di taylor
devo fare prima il quadrato di trinomio e poi sostituire la radice di x al posto della x?
mi aiutate nei calcoli non riesco a venirne a capo.

Grazie!

[pilloeffe]

Ciao cri98,

l'unico modo per risolvere questo limite sono utilizzare gli sviluppi di taylor?

No, si può fare anche così:

$ \lim_{x \to 0} (cos^3sqrt(x)-root(3)(cosx))/x^(2/3) = \lim_{x \to 0} (- 1 + cos^3sqrt(x)-(root(3)(cosx) - 1))/x^(2/3) = $
$ = \lim_{x \to 0} - \frac{1-cos^3sqrt(x)}{(sqrt(x))^2}x^(1/3) -(root(6)(1 - sin^2x) - 1)/x^(2/3) = $
$ = \lim_{x \to 0} - \frac{1-cossqrt(x)}{(sqrt(x))^2} (1 + cossqrt(x) + cos^2sqrt(x))x^{1/3}+(root(6)(1 - sin^2x) - 1)/(-sin^2 x) \cdot (sin^2x/x^2) \cdot x^(4/3) = $
$ = -1/2 \cdot 3 \cdot 0 + 1/6 \cdot 1 \cdot 0 = 0 $

[mobley]

De l'Hopital?

[pilloeffe]

Ciao mobley,

Può darsi, onestamente non ci ho guardato: prova...