gabriella127 ha scritto:ClaudioNine, l'idea delle curve che si impicciano tra di loro è carina, ma bizzarra.
Le curve sono delle applicazioni, mica dei fili di spago o dei muretti di gomma. E' come se disegnassi su uno stesso grafico, che so, una parabola e il logaritmo e dici che si impicciano tra di loro.
Esatto, è proprio così. Queste cose succedono quando si ragiona in modo troppo informale.
@Claudio: quello che ti serve è un po' di formalismo, per toglierti dalla teste queste idee strampalate. Dimostriamo direttamente che \(D=\{(x, y)\in\mathbb R^2\ :\ x^2+y^2<1\}\) è semplicemente connesso, nel senso che ogni curva chiusa \(\phi\colon [0, 1]\to D\) è omotopa a un punto\(^{[1]}\).
Infatti, sia \(H\colon [0,1]\times D\to D\) la mappa \(H(s,x):=sx\). Verifica per favore che:
1) \(H(1, \phi(t))=\phi(t),\ \forall t\in[0,1].\)
2) \(H(0, \phi(t))=0.\)
3) \(H\) è continua.
Sono cose totalmente ovvie e facilissime. Fatto ciò, avrai concluso la dimostrazione della semplice connessione di \(D\). CONCLUSIONE: Dimentica la definizione data dal prof. Questa è quella ufficiale. Il prof ha voluto risparmiare tempo, evitando di introdurre il concetto di "omotopia", ma nel tuo caso questo risparmio di tempo ti si è ritorto contro.
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\([1]\). Per definizione, \(\phi\) è
omotopa a un punto se esiste una applicazione continua \(H\colon [0, 1]\times D\to D\) tale che \(H(1, \phi(t))=\phi(t)\) e \(H(0, \phi(t))=p\), dove \(p\in D\) è un punto fissato.
)
