Re: Insieme semplicemente connesso

Messaggioda CLaudio Nine » 13/06/2019, 13:16

dissonance ha scritto:Ma certo che no. Se questa curva chiusa è contenuta nell'insieme, dove sta il problema?


Durante la deformazione di $\gamma_alpha$ viene dunque deformata anche $\gamma_beta$ ?
Scusami per i soliloqui, ma purtroppo nella mia facoltà abbiamo analisi 1 ed analisi 2 da 6 crediti ciascuno.
Tuttavia il nostro professore richiede una comprensione (giustamente) profonda anche di quei concetti che noi abbiamo solamente accennato senza le opportune definizioni rigorose (per mancanza di tempo).
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Re: Insieme semplicemente connesso

Messaggioda gabriella127 » 13/06/2019, 13:28

ClaudioNine, l'idea delle curve che si impicciano tra di loro è carina, ma bizzarra.
Le curve sono delle applicazioni, mica dei fili di spago o dei muretti di gomma. E' come se disegnassi su uno stesso grafico, che so, una parabola e il logaritmo e dici che si impicciano tra di loro.
Non è che $ gamma _b $ che sta dentro $ gamma _a $ si contrae pure quella, è come se non ci fosse, se vogliamo usare il tuo linguaggio fantasioso, $ gamma _a $ 'ci passa sopra'.
(astieniti da queste considerazioni all'esame :))
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Re: Insieme semplicemente connesso

Messaggioda dissonance » 13/06/2019, 16:15

gabriella127 ha scritto:ClaudioNine, l'idea delle curve che si impicciano tra di loro è carina, ma bizzarra.
Le curve sono delle applicazioni, mica dei fili di spago o dei muretti di gomma. E' come se disegnassi su uno stesso grafico, che so, una parabola e il logaritmo e dici che si impicciano tra di loro.

:-D

Esatto, è proprio così. Queste cose succedono quando si ragiona in modo troppo informale.

@Claudio: quello che ti serve è un po' di formalismo, per toglierti dalla teste queste idee strampalate. Dimostriamo direttamente che \(D=\{(x, y)\in\mathbb R^2\ :\ x^2+y^2<1\}\) è semplicemente connesso, nel senso che ogni curva chiusa \(\phi\colon [0, 1]\to D\) è omotopa a un punto\(^{[1]}\).

Infatti, sia \(H\colon [0,1]\times D\to D\) la mappa \(H(s,x):=sx\). Verifica per favore che:
1) \(H(1, \phi(t))=\phi(t),\ \forall t\in[0,1].\)

2) \(H(0, \phi(t))=0.\)

3) \(H\) è continua.

Sono cose totalmente ovvie e facilissime. Fatto ciò, avrai concluso la dimostrazione della semplice connessione di \(D\). CONCLUSIONE: Dimentica la definizione data dal prof. Questa è quella ufficiale. Il prof ha voluto risparmiare tempo, evitando di introdurre il concetto di "omotopia", ma nel tuo caso questo risparmio di tempo ti si è ritorto contro.

---
\([1]\). Per definizione, \(\phi\) è omotopa a un punto se esiste una applicazione continua \(H\colon [0, 1]\times D\to D\) tale che \(H(1, \phi(t))=\phi(t)\) e \(H(0, \phi(t))=p\), dove \(p\in D\) è un punto fissato.
dissonance
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Re: Insieme semplicemente connesso

Messaggioda CLaudio Nine » 13/06/2019, 16:32

dissonance ha scritto:ClaudioNine, l'idea delle curve che si impicciano tra di loro è carina, ma bizzarra.


---
\([1]\). Per definizione, \(\phi\) è omotopa a un punto se esiste una applicazione continua \(H\colon [0, 1]\times D\to D\) tale che \(H(1, \phi(t))=\phi(t)\) e \(H(0, \phi(t))=p\), dove \(p\in D\) è un punto fissato.


Siete riusciti a farmi comprendere il concetto, togliendomi dalla testa una marea di sciocchezze!
Grazie Gabriella e grazie mille dissonance!
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Re: Insieme semplicemente connesso

Messaggioda gabriella127 » 13/06/2019, 17:00

Figurati ClaudioNine, capita di andare fuori strada quando uno cerca, giustamente, di farsi un' idea intuitiva.
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