Insieme semplicemente connesso

Ma certo che no. Se questa curva chiusa è contenuta nell'insieme, dove sta il problema?

Durante la deformazione di $\gamma_alpha$ viene dunque deformata anche $\gamma_beta$ ?
Scusami per i soliloqui, ma purtroppo nella mia facoltà abbiamo analisi 1 ed analisi 2 da 6 crediti ciascuno.
Tuttavia il nostro professore richiede una comprensione (giustamente) profonda anche di quei concetti che noi abbiamo solamente accennato senza le opportune definizioni rigorose (per mancanza di tempo).

ClaudioNine, l'idea delle curve che si impicciano tra di loro è carina, ma bizzarra.
Le curve sono delle applicazioni, mica dei fili di spago o dei muretti di gomma. E' come se disegnassi su uno stesso grafico, che so, una parabola e il logaritmo e dici che si impicciano tra di loro.
Non è che $ gamma _b $ che sta dentro $ gamma _a $ si contrae pure quella, è come se non ci fosse, se vogliamo usare il tuo linguaggio fantasioso, $ gamma _a $ 'ci passa sopra'.
(astieniti da queste considerazioni all'esame )

ClaudioNine, l'idea delle curve che si impicciano tra di loro è carina, ma bizzarra.
Le curve sono delle applicazioni, mica dei fili di spago o dei muretti di gomma. E' come se disegnassi su uno stesso grafico, che so, una parabola e il logaritmo e dici che si impicciano tra di loro.

Esatto, è proprio così. Queste cose succedono quando si ragiona in modo troppo informale.

@Claudio: quello che ti serve è un po' di formalismo, per toglierti dalla teste queste idee strampalate. Dimostriamo direttamente che \(D=\{(x, y)\in\mathbb R^2\ :\ x^2+y^2<1\}\) è semplicemente connesso, nel senso che ogni curva chiusa \(\phi\colon [0, 1]\to D\) è omotopa a un punto\(^{[1]}\).

Infatti, sia \(H\colon [0,1]\times D\to D\) la mappa \(H(s,x):=sx\). Verifica per favore che:
1) \(H(1, \phi(t))=\phi(t),\ \forall t\in[0,1].\)

2) \(H(0, \phi(t))=0.\)

3) \(H\) è continua.

Sono cose totalmente ovvie e facilissime. Fatto ciò, avrai concluso la dimostrazione della semplice connessione di \(D\). CONCLUSIONE: Dimentica la definizione data dal prof. Questa è quella ufficiale. Il prof ha voluto risparmiare tempo, evitando di introdurre il concetto di "omotopia", ma nel tuo caso questo risparmio di tempo ti si è ritorto contro.

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\([1]\). Per definizione, \(\phi\) è omotopa a un punto se esiste una applicazione continua \(H\colon [0, 1]\times D\to D\) tale che \(H(1, \phi(t))=\phi(t)\) e \(H(0, \phi(t))=p\), dove \(p\in D\) è un punto fissato.

ClaudioNine, l'idea delle curve che si impicciano tra di loro è carina, ma bizzarra.


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\([1]\). Per definizione, \(\phi\) è omotopa a un punto se esiste una applicazione continua \(H\colon [0, 1]\times D\to D\) tale che \(H(1, \phi(t))=\phi(t)\) e \(H(0, \phi(t))=p\), dove \(p\in D\) è un punto fissato.

Siete riusciti a farmi comprendere il concetto, togliendomi dalla testa una marea di sciocchezze!
Grazie Gabriella e grazie mille dissonance!

Figurati ClaudioNine, capita di andare fuori strada quando uno cerca, giustamente, di farsi un' idea intuitiva.