Teorema di Ljapunov

Ciao!

ho questa dimostrazione da fare per l'esame di sistemi dinamici

siano $F:A->RR^n$ un campo vettoriale $C^1$(nell'interno di $A$), $x_0$ un punto singolare(punto di equilibrio per il sistema) per $F$ e $V:Omega->RR$ una funzione di Ljapunov per $x_0$ allora $x_0$ è un equilibrio stabile.

precisazioni

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con funzione di Ljapunov per $x_0$ intendo le seguenti cose

1) $x_0$ è interno a $Omega$

2) è definita positiva ossia ${(V(x)geq0),(V(x)=0 <=> x=x_0):}$ in $Omega$

3) $V$ è differenziabile all'interno di $Omega$ e $nablaV(x)*F(x)leq0$ in $Omega$

con punto singolare per il campo intendo semplicemente un punto nel quale il campo si annulla

devo dimostrare in poche parole che per condizioni $overline(x)$ iniziali vicino al punto di equilibrio le orbite soluzioni del sistema

${(phi'(t)=F(phi(t))),(phi(0)=overline(x)) :}$

rimangono sempre vicine all'equilibrio.

dimostrazione
dimostro che il teorema è vero per un sistema fondamentale di intorni che saranno i dischi $D(x_0,epsilon)$ contenuti in $Omega$

sia $epsilon>0$ in modo tale che $D(x_0,epsilon)subsetOmega$; la funzione $V:partialD(x_0,epsilon)->RR$ è continua su questo insieme che è compatto e pertanto ammette un minimo assoluto

sia

$m:=min_(x in partialD(x_0,epsilon))V(x)$

per la continuità di $V:Omega->RR$ in $x_0$ esiste un $delta>0$ per cui

$forallx in Omega(norm(x-x_0)<delta => |V(x)-V(x_0)|<m/2)$

in particolare poiché $V$ è di Ljapunov per $x_0$ si ha che $V(x_0)=0$ e $V(x)geq0$ quindi

$forallx in Omega(norm(x-x_0)<delta => 0leqV(x)<m/2)$

a patto di porre $delta'=min{delta, epsilon}$ posso supporre che $delta<epsilon$
prendo un qualsiasi $overline(x) in B(x_0,delta)$ e considero la soluzione $phi(t)$ di

${(phi'(t)=F(phi(t))),(phi(0)=overline(x)) :}$

tale soluzione esiste ed è unica poichè il campo vettoriale è differenziabile con continuità in un intorno di $overline(x)$
Suppongo per assurdo che per qualche $tgeq0$ si abbia $phi(t) notinB(x_0,epsilon)$ ovvero che esca dalla palletta
posso porre

$T=min{tgeq0: norm(phi(t)-x_0)geqepsilon}$

è un minimo per il fatto che la funzione $norm(phi(t)-x_0)$ è continua in $[0,+infty)$ quindi quella risulta essere la controimmagine di un chiuso ossia è chiusa in $[0,+infty)$ e anche in $RR$ quindi deve contenere l'estremo inferiore essendo inferiormente limitato

In particolare $T>0$ in quanto se fosse $T=0$ si avrebbe

$norm(phi(T)-x_0)=norm(overline(x)-x_0)<delta<epsilon$

per $0leqt<T$ deve essere $norm(phi(t)-x_0)<epsilon$ per non violare la minimalità di $T$

poichè la funzione $norm(phi(t)-x_0)$ è continua sul compatto connesso $[0,T]$ l'immagine deve essere un compatto connesso e $epsilon$ stando nell'immagine deve esistere un tempo $0leqtleqT$ per cui $norm(phi(t)-x_0)=epsilon$ ma per $0leqt<T$ si ha $norm(phi(t)-x_0)<epsilon$ quindi l'unica possibilità è che sia $norm(phi(T)-x_0)=epsilon$

ora per concludere

$V(phi(T))-V(overline(x))=int_(0)^(T)nablaV(phi(t))*phi'(t)dt=int_(0)^(T)nablaV(phi(t))*F(phi(t))dtleq0$

questa disuguaglianza segue dal fatto che per $0leqtleqT$ la funzione $phi(t)$ sta nel disco e quindi in $Omega$

dalle considerazioni fatte si otterrebbe $mleqV(phi(T))leqV(overline(x))<m/2$
Pertanto la funzione $phi$ non può attraversare la palletta.

Come vi sembra?

Spendi una marea di parole per cose inutili, ma non enunci correttamente la proposizione che vuoi dimostrare. Questo:

devo dimostrare in poche parole che per condizioni x¯ iniziali vicino al punto di equilibrio le orbite soluzioni del sistema
[...]
rimangono sempre vicine all'equilibrio.

NON è un enunciato.

Quello non è l’enuciato; è palese che non lo sia.
Inoltre ritengo di non aver scritto cose inutili; ho solo cercato di giustificare ogni passaggio

Se hai voglia, riprova. Scrivi correttamente e nitidamente l'enunciato che vuoi dimostrare, e una dimostrazione sintetica. Se ho capito bene cosa vuoi cercare di dimostrare, si può fare in poche righe.

(Se proprio non vuoi scrivere la dimostrazione sintetica, scrivi almeno l'enunciato come si deve.)

Va bene.

Teorema
siano $F:A->RR^n$ un campo vettoriale $C^1$, $AsubsetRR^n$ aperto connesso, $F(x(t))=x'(t)$ un sistema dinamico e $x_0 in A$ un punto di equilibrio del sistema:

se esistono un intorno $OmegasubsetA$ di $x_0$ e una funzione $V:Omega->RR$ di Ljapunov allora l'equilibrio è stabile.

dimostrazione
considero un $epsilon>0$ e pongo $m=min_(x in partialD(x_0,epsilon))V(x)$ la cui esistenza è garantita da Weierstrass

per continuità di $V$ in $x_0$ e per le sue proprietà posso trovare un $0<delta<epsilon$ per cui

$forallx in Omega(norm(x-x_0)<delta=>0leqV(x)<m)$

prendo un $overline(x) in B(x_0,delta)$ e considero la soluzione $phi(t)$ di

${(phi'(t)=F(phi(t))),(phi(0)=overline(x)):}$

garantita dalla differenziabilità di $F$ in un intorno di $overline(x)$

voglio provare che la soluzione sta tutta in $B(x_0,epsilon)$
Suppongo per assurdo che esista almeno un $tgeq0$ per cui $norm(phi(t)-x_0)geqepsilon$

posto

$T=i n f{tgeq0: norm(phi(t)-x_0)geqepsilon}$

date le proprietà delle funzioni in gioco quello risulta essere un minimo e in particolare deve essere $T>0$; inoltre si ha che $0leqt<T => norm(phi(t)-x_0)<epsilon$ e $norm(phi(T)-x_0)=epsilon$ e considerando che

$V(phi(T))-V(overline(x))=int_(0)^(T)nablaV(phi(t))*F(phi(t))dtleq0$

si ottiene un assurdo poiché risulterebbe $m<m$

Mancherebbe giusto la definizione di "equilibrio stabile", ma vabbé, ce la ricordiamo. Per il resto, va MOLTO meglio della prima stesura. Poi dici che non mi devo arrabbiare con te.

Vai avanti a studiare, vai, non mi fare parlare.

@arnett
Si è soltanto gusto personale

@peppe
Spesso sono molto insicuro sui passaggi intermedi, lo sai, per questo posto tutta la sequela

No, non è quello. Secondo me sei pigro, e ti scocci a rileggere e riscrivere. Per scrivere una cosa come si deve, vanno fatte varie stesure: si scrive, si cancella, si riorganizza, ecc...

Tu invece ti fermi al primo passo, scaraventi tutti i tuoi pensieri direttamente sulla tastiera e poi, ci scommetto, manco una volta rileggi. Sicuramente non ti sforzi a sintetizzare e riscrivere, probabilmente perché la reputi una attività inutile. Per quello mi incazzo (non mi piacciono le parolacce, ma quando ci vuole, ci vuole).

Un po’ pigro e magari può esser vero che certe cose sono altamente superflue ma altre le metto davvero perché ne sono insicuro e rileggo molte volte per avere una minima certezza che quanto propongo sia valido a livello dimostrativo.

Ho pensato spesso al fatto che proporre una stesura completa possa suscitare fastidio in chi legge; perché può scocciare leggere tutto oppure perché può sembrare che snobbi le conoscenze altrui.

Non è per questo motivo ma davvero voglio che ogni passaggio sia corretto a livello logico altrimenti non ci dormo