Campi conservativi

Partendo dal lavoro indipendente dal percorso riesco a seguire i passaggi che conducono allo scrivere il campo come opposto del gradiente di una funzione scalare. Ho capito quindi come passare dalla relazione integrale a quella locale. Potreste mostrarmi il percorso inverso? Se un campo è esprimibile come opposto del gradiente di una funzione scalare come si arriva a concludere che il lavoro è indipendente dal percorso?
Grazie

Se hai un campo vettoriale $F$ e una funzione scalare $V$ che stanno nella relazione

$-nablaV=F$

Considera una curva $x(t)$; chi è una primitiva di $F(x(t))*x’(t)$? Quanto vale $int_(t_i)^(t_f)F(x(t))*x’(t)dt$?

PS: puoi anche trovare una relazione $nablaV=F$ tanto se poni $V=-U$ ottieni $nablaV=-nablaU$

Teorema del gradiente?

Non rispondermi con una domanda; tu hai che $F=-nablaV$ quindi

$F(x(t))*x’(t)=-nablaV(x(t))*x’(t)$

Prova a derivare la funzione $V(x(t))$ cosa ottieni?

$V'(x(t))x'(t)$

Non è una chat; ragiona sulle risposte.
$V$ è una funzione definita su un sottoinsieme di $RR^n$ quindi quel $V’$ è il gradiente.

È una cosa davvero facilissima; basta notare che $V(x(t))$ è una primitiva dell’integranda e applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Dato che $ -nablaV=F $, una primtiva di $ F(x(t))*x’(t)$ è $-V(x(t))$ quindi $ int_(t_i)^(t_f)F(x(t))*x’(t)dt $ vale $V(x(t_i))-V(x(t_f))$ Giusto?

Giusto; quindi se la curva è chiusa?

Se la curva è chiusa l'integrale fa 0! Se volessi vedere in quell'integranda un forma in funzione dello spostamento elementare dovrei convertire $x'(t)dt$ in $ds$ e gli estremi di integrazione in $s_A,s_B$?