Limite - o piccolo

Buonasera,

Ho un grande dubbio che proverò ad illustrarvi.

Dato il seguente limite:
$lim_(x->+infty)4(cos(1/x)-1)^2 - 1/x^4$

Dire qualle delle seguenti affermazioni è corretta:

$a)$ La funzione non è infinitesima per $x$ che tende a $+infty$;
$b)$ $f(x)= o(1/x^8)$;
$c)$ $f(x)= o(1/x^6)$;
$d)$ il limite non esiste.



A parer mio, nessuna di queste affermazioni è corretta, in quanto:

- la risposta $a)$ non è corretta perchè $lim_(x->+infty)4(cos(1/x)-1)^2 - 1/x^4=0$;


- la risposta $b)$ non è corretta in quanto $lim_(x->+infty)(4(cos(1/x)-1)^2 - (1/x^4)) / (1/x^8) = -infty$ ;


- la risposta $c)$ non è corretta in quanto $lim_(x->+infty)(4(cos(1/x)-1)^2 - (1/x^4)) / (1/x^6) = -1/6$ ;


- la risposta $d)$ non è corretta in quanto il limite esiste ed è uguale a $0$.




Dato che dovrò relazionarmi con un professore universitario anche riguardo ciò venerdì mattina, e dato che in questo forum trovo sempre qualcuno più in gamba di me che riesce sempre a farmi capire i miei errori, ho pensato di chiedervi un parere.

Siete d'accordo con me? Trovate qualche errore in quello che ho scritto?
Ho applicato male la definizione di $o$ piccolo?

Grazie mille!!!

Visto che $cos y = 1 - 1/2 y^2 + 1/24 y^4 + "o"(y^4)$ per $y -> 0$, hai $cos(1/x) - 1 = -1/(2x^2) + 1/(24 x^4) + "o" (1/x^4)$ e dunque $(cos(1/x) - 1)^2 = (-1/(2x^2) + 1/(24 x^4) + "o" (1/x^4))^2 = 1/(4x^4) - 1/(24 x^6) +"o"(1/x^6)$ per $x -> +oo$.
Ciò dovrebbe aiutarti a concludere che nessuna delle alternative proposte è corretta.

Visto che $cos y = 1 - 1/2 y^2 + 1/24 y^4 + "o"(y^4)$ per $y -> 0$, hai $cos(1/x) - 1 = -1/(2x^2) + 1/(24 x^4) + "o" (1/x^4)$ e dunque $(cos(1/x) - 1)^2 = (-1/(2x^2) + 1/(24 x^4) + "o" (1/x^4))^2 = 1/(4x^4) - 1/(24 x^6) +"o"(1/x^6)$ per $x -> +oo$.
Ciò dovrebbe aiutarti a concludere che nessuna delle alternative proposte è corretta.

mi stai dicendo che ho ragione gugo? Non ci credo fantastico