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Equaz.Diff. Condizioni iniziali / bordo

MessaggioInviato: 13/06/2019, 01:25
da CLaudio Nine
Ciao a tutti,

Qualcuno saprebbe spiegarmi la differenza, nelle equazioni differenziali tra problema con condizioni iniziali e problema con condizioni al bordo?

Io so che il problema con condizioni iniziali è anche detto problema di Cauchy, e che sotto opportune ipotesi tale problema ammetterà un'unica soluzione.


-Cosa si intende per problema al bordo?
- Qualcuno saprebbe mostrarmi la differenza tra i due tipi di problemi?

Meno importante:
-Come mai non è possibile dire nulla sulla probabile esistenza di una o più soluzioni in questo tipo di problema, a differenza di quanto avviene nei problemi di Cauchy?

Re: Equaz.Diff. Condizioni iniziali / bordo

MessaggioInviato: 13/06/2019, 09:38
da pilloeffe
Ciao Claudio Nine,

Provo a risponderti brevemente, naturalmente senza alcuna pretesa di completezza dato che l'argomento sono le Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO o ODE in inglese) e alle derivate parziali (PDE in inglese) ed è dunque piuttosto vasto... :wink:
Mentre i PdC (Problemi di Cauchy) possono essere visti come problemi di tipo temporale, in quanto vengono imposte condizioni iniziali e si studia l’evolvere nel tempo dell’equazione (o meglio del problema descritto dall'equazione), i problemi al contorno possono essere visti come problemi di tipo spaziale, con condizioni sul bordo del dominio sul quale è definita l’equazione differenziale coinvolta nel problema. A differenza dei PdC, i problemi al contorno potrebbero non avere alcuna soluzione, oppure avere infinite soluzioni oppure ancora un’unica soluzione. Crolla dunque il risultato di unicità della soluzione dei PdC.
Ci sono diversi tipi di condizioni al contorno, ma le più comuni sono quelle che specificano il valore della soluzione (Dirichlet) e il valore della sua derivata (Neumann). Assegnando entrambi i valori prendono il nome di condizioni al contorno di Cauchy.

Re: Equaz.Diff. Condizioni iniziali / bordo

MessaggioInviato: 13/06/2019, 13:34
da CLaudio Nine
pilloeffe ha scritto: sono le Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO o ODE in inglese)


Ciao pilloeffe,
innanzitutto grazie per avermi risposto.
Nel mio corso di studi abbiamo trattato solo EDO in forma normale.
Riusciresti a farmi notare tramite un esempio, la differenza tra problema di Cauchy e problema al bordo? A me sembrano uguali!!!

Re: Equaz.Diff. Condizioni iniziali / bordo

MessaggioInviato: 13/06/2019, 14:25
da arnett
Vediamo se un esempio in 1D ti chiarisce la situazione. Considera il problema ai limiti
$\{(y''+y=0),(y(0)=y(\pi)=1):}$

e il problema di Cauchy
$\{(y''+y=0),(y(0)=y'(0)=1):}$

L'equazione differenziale è la stessa (ed è super regolare, coefficienti costanti e ogni regolarità che desideri) e di conseguenza l'integrale generale è il medesimo. Ma il primo problema non ha soluzione (se non ho fatto male i conti).

Re: Equaz.Diff. Condizioni iniziali / bordo

MessaggioInviato: 13/06/2019, 14:27
da gugo82
Esempi scemi.

Il P.d.C.:
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime} (x) = 0 & \text{, in } ]0,1[\\
y(0) = q_0 \\
y^\prime (0) = m_0
\end{cases}
\]
ha unica soluzione $y(x) := m_0 x + q_0$, ed anche il B.V.P. (condizioni di Dirichlet):
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime} (x) = 0 & \text{, in } ]0,1[\\
y(0) = q_0 \\
y (1) = q_1
\end{cases}
\]
ha unica soluzione $y(x) = (q_1 - q_0) x + q_0$; tuttavia, il B.V.P. (condizioni di Neumann):
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime} (x) = 0 & \text{, in } ]0,1[\\
y^\prime (0) = m_0 \\
y^\prime (1) = m_1
\end{cases}
\]
ha infinite soluzioni se $m_0 = m_1$ e nessuna soluzione se $m_0 != m_1$ (perché?).

Re: Equaz.Diff. Condizioni iniziali / bordo

MessaggioInviato: 13/06/2019, 19:09
da CLaudio Nine
gugo82 ha scritto:(perché?).


Forse perché, dato che la derivata seconda è uguale a zero per ogni $x in (0;1)$, allora la derivata prima sarà sicuramente una costante.
Dovrà essere lo stesso numero (stessa pendenza del grafico della funzione) per ogni $x$ dell'intervallo.
Corretto?

Vediamo un po' se ho capito.
Dato il seguente problema al bordo ($t$ è la variabile indipendente):

$\{(x''= t - (1/4)x(t)),(x(0)=0),(x(8)=0):}$

Io procederei in questo modo (se ne avete voglia, ditemi se dico qualche stupidaggine):

-Trovo soluzione dell'equazione del secondo ordine non omogenea grazie a metodo di variazione delle costanti;
-Dopo aver trovato la soluzione, verifico se esiste una o più funzioni che soddisfano le due condizioni al bordo, sostituendo i valori $t_0$ ed $x_0$ al posto delle costanti $c_1$ e $c_2$ e della $x$ della mia soluzione.

Re: Equaz.Diff. Condizioni iniziali / bordo

MessaggioInviato: 13/06/2019, 19:33
da gugo82
Sì a tutto.

Però non serve usare la variazione delle costanti per trovare l’integrale particolare della EDO completa. :wink:

Re: Equaz.Diff. Condizioni iniziali / bordo

MessaggioInviato: 13/06/2019, 20:42
da CLaudio Nine
gugo82 ha scritto:Sì a tutto.

Però non serve usare la variazione delle costanti per trovare l’integrale particolare della EDO completa. :wink:


Come mai non serve?
Perdona l'ignoranza, ma è l'unico metodo che conosco per trovare soluzioni della EDO del secondo ordine non omogenea.

Re: Equaz.Diff. Condizioni iniziali / bordo

MessaggioInviato: 13/06/2019, 20:48
da CLaudio Nine
gugo82 ha scritto:Sì a tutto.

Però non serve usare la variazione delle costanti per trovare l’integrale particolare della EDO completa. :wink:


Esiste un altro metodo? Se me lo potresti spiegare (o linkare una spiegazione) mi faresti un favorone!
Nel frattempo, ad ogni modo, ti ringrazio.

Re: Equaz.Diff. Condizioni iniziali / bordo

MessaggioInviato: 13/06/2019, 21:00
da gugo82
Metodo di somiglianza, ne ho scritto in lungo ed in largo sul forum.

Nel tuo caso l’integrale particolare, evidentemente e senza fare conti, è $x_p(t) := 4 t$, dunque l’integrale generale della EDO è $x(t) = 4t + c_1 e^(1/2 t) + c_2 e^(-1/2 t)$.