Th. esistenza e unicità PdC
Inviato: 13/06/2019, 02:57
Ciao!
devo portare anche questa dimostrazione, molto probabilmente, per sistemi.
Teorema
Siano $(x_0,y_0) in RRtimesRR^n$ un punto e $f$ una funzione a valori in $RR^n$ definita e continua almeno in un intorno del punto della forma $ItimesJ=D^1(x_0,a)timesD^n(y_0,b)$
Se $f$ è lipschitziana in $overline(y)$ uniformemente rispetto a $x$ in tale intorno allora
ammette un'unica soluzione
dimostrazione
sia $L>0$ la costante di Lipschitz per la funzione in tale intorno
$f$ è continua su un compatto quindi esiste $M=max_((x,y) in ItimesJ)norm(f(x,y))$
se $M=0$ basta prende la soluzione costante $y(x)=y_0$
se $M>0$ allora si può porre $delta<min{a,b/M,1/L}$ e $I_delta=[x_0-delta,x_0+delta]$
posto lo spazio $X$ delle funzioni continue $g:I_delta->RR^n$ dotato della norma dell'estremo superiore; esso è completo in quanto sottospazio chiuso di uno spazio completo.
si possono considerare la seguente palletta che è ancora un sottospazio completo
e l'operatore
per concludere basta mostrare che $F(D^infty)subsetD^infty$ ed è una contrazione
1. sia $x in I_delta$ allora $norm(F(y(x))-y_0)leqint_(x_0)^(x)norm(f(t,y(t)))dtleqM|x-x_0|leqMdelta<b$
per l'arbitrarietà di $x$ passando al $s u p$ si ottiene la prima richiesta
siano $y_1,y_2 in D^(infty)$ e sia $x in I_delta$ allora
2.
dall'arbitrarietà di $x$, anche qui, passando al $s u p$ si ottiene la seconda richiesta poichè $Ldelta<1$
Questo conclude la dimostrazione
domande
devo portare anche questa dimostrazione, molto probabilmente, per sistemi.
Teorema
Siano $(x_0,y_0) in RRtimesRR^n$ un punto e $f$ una funzione a valori in $RR^n$ definita e continua almeno in un intorno del punto della forma $ItimesJ=D^1(x_0,a)timesD^n(y_0,b)$
Se $f$ è lipschitziana in $overline(y)$ uniformemente rispetto a $x$ in tale intorno allora
${(y'(x)=f(x,y(x))),(y(x_0)=y_0):}$
ammette un'unica soluzione
dimostrazione
sia $L>0$ la costante di Lipschitz per la funzione in tale intorno
$f$ è continua su un compatto quindi esiste $M=max_((x,y) in ItimesJ)norm(f(x,y))$
se $M=0$ basta prende la soluzione costante $y(x)=y_0$
se $M>0$ allora si può porre $delta<min{a,b/M,1/L}$ e $I_delta=[x_0-delta,x_0+delta]$
posto lo spazio $X$ delle funzioni continue $g:I_delta->RR^n$ dotato della norma dell'estremo superiore; esso è completo in quanto sottospazio chiuso di uno spazio completo.
si possono considerare la seguente palletta che è ancora un sottospazio completo
$D^(infty)(y_0,b)={y in X: norm(y-y_0)_(infty)leqb}$
e l'operatore
$F(y)=y_0+int_(x_0)^(x)f(t,y(t))dt$, $F:D^(infty)->X$
per concludere basta mostrare che $F(D^infty)subsetD^infty$ ed è una contrazione
1. sia $x in I_delta$ allora $norm(F(y(x))-y_0)leqint_(x_0)^(x)norm(f(t,y(t)))dtleqM|x-x_0|leqMdelta<b$
per l'arbitrarietà di $x$ passando al $s u p$ si ottiene la prima richiesta
siano $y_1,y_2 in D^(infty)$ e sia $x in I_delta$ allora
2.
$norm(F(y_1(x))-F(y_2(x)))leqint_(x_0)^(x)norm(f(t,y_1(t))-f(t,y_2(t)))dtleqL|x-x_0|*norm(y_1(x)-y_2(x))<Ldeltanorm(y_1-y_2)_(infty)$
dall'arbitrarietà di $x$, anche qui, passando al $s u p$ si ottiene la seconda richiesta poichè $Ldelta<1$
Questo conclude la dimostrazione
domande
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l'integrale in considerazione è l'integrale definito come il vettore degli integrali giusto?
nei passaggi 1 e 2 ho considerato dapprima di mostrare che la maggiorazione valesse per ogni $x$ così da passare al sup ed ottenere una disuguaglianza con la norma infinito; è corretto? io ritengo di si ma vorrei conferme.
nei passaggi 1 e 2 ho considerato dapprima di mostrare che la maggiorazione valesse per ogni $x$ così da passare al sup ed ottenere una disuguaglianza con la norma infinito; è corretto? io ritengo di si ma vorrei conferme.