Dimostrazione di una serie converge.
Inviato: 13/06/2019, 09:44Buongiorno,
ho il seguente esercizio
Ho la risoluzione dell'esercizio, dove applica il criterio del rapporto, vorrei provare in un altra maniera, ossia:
ricordo che una serie si dirà convergente, se la successione delle somme parziali $S_n$ risulterà tale.
Per cui considerando la successione delle somme parziali, la quale viene definita nel seguente modo
inoltre, dal teorema sulle successioni monotone, il quale dice:
Teorema Sia $a_n$ una successione monotona limitata, è convergente.
inoltre, la successione delle somme parziali $S_n$ è una successione crescente, infatti si ha con $a_n>0$
Ora devo verificare la limitatezza della successione $S_n$, procedo cosi:
Ci sono errori ?
Ciao
ho il seguente esercizio
Sia $a_0>0$ e $a_(n+1)=a_n/(2+a_n)$, mostrare che la serie $sum_n^(infty) a_n$ è convergente
Ho la risoluzione dell'esercizio, dove applica il criterio del rapporto, vorrei provare in un altra maniera, ossia:
ricordo che una serie si dirà convergente, se la successione delle somme parziali $S_n$ risulterà tale.
Per cui considerando la successione delle somme parziali, la quale viene definita nel seguente modo
$S_0=a_0 \ qquad S_(n+1)=S_n+a_(n+1)$
inoltre, dal teorema sulle successioni monotone, il quale dice:
Teorema Sia $a_n$ una successione monotona limitata, è convergente.
inoltre, la successione delle somme parziali $S_n$ è una successione crescente, infatti si ha con $a_n>0$
$S_(n+1)=S_n+a_(n+1) ge S_n$
Ora devo verificare la limitatezza della successione $S_n$, procedo cosi:
$a_n>0 to 0<a_n<a_n+2 to 0<a_n/(a_n+2)<1$
allora, $S_(n+1)$ è somma di successioni limitata, per cui risulta tale.Per il teorema sopra citato, $S_n$ ammette limite finito, ossia, è convergente, quindi, anche la serie proposta è convergente. Ci sono errori ?
Ciao
?