[Analisi 2]Esercizio derivabilità di una funzione di due variabili

Messaggioda danitudi97 » 14/06/2019, 19:15

Ciao a tutti,

avrei qualche dubbio su un esercizio per la derivabilità di una funzione di due variabili, in pratica si chiede di definire se esiste la derivabilità di una funzione a due variabili nell'origine $O(0,0)$ che è la seguente:

$f(x,y) = {(1/(x+y) if (x,y) != (0,0)), (0 if (x,y) = (0,0)):}$

Io ho elaborato la soluzione calcolando $f_x(x0,y0) = (f(x,0)-f(x_0, y_0)) / (x-x_0) = f(x,0) / x$ sapendo che $f(x,0) = 1/y$ allora $f_x(x_0,y_0) = f(x,0) / x = 1/y * 1/x = 1/(xy)$ .

Stessa cosa per la variabile y la cui derivata parziale ha lo stesso valore di quella x ovvero $f_y(x_0,y_0) = 1/(xy)$ .

EDIT: Ho verificato che la funzione nell'origine non risulta continua essendo che provando il limite $lim_((x,y) \to (0,0))(f(x,y)) = \infty$ sia provando a spostarmi sulla funzione tramite bisettrice, generica retta passante per l'origine e parabola $y = x^2$ il risultato del limite rimane infinito, soprattutto considerato che nel caso della retta generica, il risultato sarebbe infinito da rilevare anche in funzione del parametro del coefficiente angolare $m$.

Sapendo che non è detto che la mancata continuità possa definire la mancata derivabilità rimango comunque bloccato.

Volevo capire in questo caso come si fa a dedurre la derivabilità della funzione a tratti. Mi sono domandato se questo ragionamento delle derivate parziali dovessi farlo sul valore 0 che la funzione assume all'origine, ma non avrebbe avuto senso in quanto entrambe sarebbero state 0.

Un grazie a chi mi vorrà aiutare.
danitudi97
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