[Analisi 2]Esercizio derivabilità di una funzione di due variabili
Inviato: 14/06/2019, 19:15
Ciao a tutti,
avrei qualche dubbio su un esercizio per la derivabilità di una funzione di due variabili, in pratica si chiede di definire se esiste la derivabilità di una funzione a due variabili nell'origine $O(0,0)$ che è la seguente:
$f(x,y) = {(1/(x+y) if (x,y) != (0,0)), (0 if (x,y) = (0,0)):}$
Io ho elaborato la soluzione calcolando $f_x(x0,y0) = (f(x,0)-f(x_0, y_0)) / (x-x_0) = f(x,0) / x$ sapendo che $f(x,0) = 1/y$ allora $f_x(x_0,y_0) = f(x,0) / x = 1/y * 1/x = 1/(xy)$ .
Stessa cosa per la variabile y la cui derivata parziale ha lo stesso valore di quella x ovvero $f_y(x_0,y_0) = 1/(xy)$ .
EDIT: Ho verificato che la funzione nell'origine non risulta continua essendo che provando il limite $lim_((x,y) \to (0,0))(f(x,y)) = \infty$ sia provando a spostarmi sulla funzione tramite bisettrice, generica retta passante per l'origine e parabola $y = x^2$ il risultato del limite rimane infinito, soprattutto considerato che nel caso della retta generica, il risultato sarebbe infinito da rilevare anche in funzione del parametro del coefficiente angolare $m$.
Sapendo che non è detto che la mancata continuità possa definire la mancata derivabilità rimango comunque bloccato.
Volevo capire in questo caso come si fa a dedurre la derivabilità della funzione a tratti. Mi sono domandato se questo ragionamento delle derivate parziali dovessi farlo sul valore 0 che la funzione assume all'origine, ma non avrebbe avuto senso in quanto entrambe sarebbero state 0.
Un grazie a chi mi vorrà aiutare.
avrei qualche dubbio su un esercizio per la derivabilità di una funzione di due variabili, in pratica si chiede di definire se esiste la derivabilità di una funzione a due variabili nell'origine $O(0,0)$ che è la seguente:
$f(x,y) = {(1/(x+y) if (x,y) != (0,0)), (0 if (x,y) = (0,0)):}$
Io ho elaborato la soluzione calcolando $f_x(x0,y0) = (f(x,0)-f(x_0, y_0)) / (x-x_0) = f(x,0) / x$ sapendo che $f(x,0) = 1/y$ allora $f_x(x_0,y_0) = f(x,0) / x = 1/y * 1/x = 1/(xy)$ .
Stessa cosa per la variabile y la cui derivata parziale ha lo stesso valore di quella x ovvero $f_y(x_0,y_0) = 1/(xy)$ .
EDIT: Ho verificato che la funzione nell'origine non risulta continua essendo che provando il limite $lim_((x,y) \to (0,0))(f(x,y)) = \infty$ sia provando a spostarmi sulla funzione tramite bisettrice, generica retta passante per l'origine e parabola $y = x^2$ il risultato del limite rimane infinito, soprattutto considerato che nel caso della retta generica, il risultato sarebbe infinito da rilevare anche in funzione del parametro del coefficiente angolare $m$.
Sapendo che non è detto che la mancata continuità possa definire la mancata derivabilità rimango comunque bloccato.
Volevo capire in questo caso come si fa a dedurre la derivabilità della funzione a tratti. Mi sono domandato se questo ragionamento delle derivate parziali dovessi farlo sul valore 0 che la funzione assume all'origine, ma non avrebbe avuto senso in quanto entrambe sarebbero state 0.
Un grazie a chi mi vorrà aiutare.