Chiamiamo $f(x,y)=x^3+xy+y^3$
Vale
\(limsup_{||(x,y)||\rightarrow +\infty}f(x,y)=+\infty\) (si vede ad esempio con $f(t,0)$ per $t->+oo$)
\(liminf_{||(x,y)||\rightarrow +\infty}f(x,y)=-\infty\) (si vede ad esempio con $f(t,0)$ per $t->-oo$)
Quindi
$AA R>0$ trovo una curva $\gamma:[0,1]->RR^2$ che "sta tutta fuori" da $B(0,R)$ (palla centrata in 0 raggio R) tale che
$f(\gamma(0))<0$
$f(\gamma(1))>0$
Essendo continua $f(\gamma(t))$ si annulla lungo la curva, quindi per ogni palla ho uno zero al di fuori di essa, quindi il luogo di zeri di $f$ non è finito.
Questo criterio si generalizza (per vedere se il luogo di zeri è finito guardo sempre il segno di liminf e limsup)
Sto sbagliando?
Domanda Bonus:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Come si fa a fare il limsup in modo che il pedice venga effettivamente sotto?