Salve a tutti, volevo proporvi un paio di esercizi che non riesco a finire, il primo:
$H={(x,y)inRR^2 : -1<=x^3+xy+y^3<=1}$ è compatto?
E' banalmente chiuso in quanto anti-immagine di $[-1,1]$ di una funzione continua, ma come faccio a mostrare che non è limitato? Non mi vengono in mente maggiorazioni che possano aiutarmi
Altro esercizio: $K_\alpha = {(x,y) in RR^2 : -1<x^2+\alpha*xy + y^2 <=1 } , \alpha in RR$
, per dimostrare che per $|\alpha|>=2$ non è compatto, il prof dice: sia $t in RR$ una soluzione dell'eq. $t^2 + \alpha*t+1=0$ .
Allora i punti $(x,y) in RR^2 $ tali che $x/y = t$ o ($y/x=t$ ), verificano $x^2+\alpha*xy + y^2 = 0$ e quindi sono in $k_\alpha$ che quindi non è limitato.
Ho più o meno capito (a parte il fatto che non mi sarebbe mai venuto in mente di mostrarlo così) , ma ci sono modi più immediati per mostrarlo?