Compattezza

Salve a tutti, volevo proporvi un paio di esercizi che non riesco a finire, il primo:

$H={(x,y)inRR^2 : -1<=x^3+xy+y^3<=1}$ è compatto?

E' banalmente chiuso in quanto anti-immagine di $[-1,1]$ di una funzione continua, ma come faccio a mostrare che non è limitato? Non mi vengono in mente maggiorazioni che possano aiutarmi

Altro esercizio: $K_\alpha = {(x,y) in RR^2 : -1<x^2+\alpha*xy + y^2 <=1 } , \alpha in RR$
, per dimostrare che per $|\alpha|>=2$ non è compatto, il prof dice: sia $t in RR$ una soluzione dell'eq. $t^2 + \alpha*t+1=0$ .
Allora i punti $(x,y) in RR^2 $ tali che $x/y = t$ o ($y/x=t$ ), verificano $x^2+\alpha*xy + y^2 = 0$ e quindi sono in $k_\alpha$ che quindi non è limitato.

Ho più o meno capito (a parte il fatto che non mi sarebbe mai venuto in mente di mostrarlo così) , ma ci sono modi più immediati per mostrarlo?

I polinomi sono mappe proprie, e \(H = p^\leftarrow[-1,1]\) se $p(x,y) = x^3 + xy+y^3$ è guardata come una funzione polinomiale $\mathbb R^2 \to \mathbb R$.

Ok mi sembra abbastanza ovvio, ma questo serve per mostrare che H è chiuso, non per mostrare che non è limitato. O sbaglio?

Ok mi sembra abbastanza ovvio, ma questo serve per mostrare che H è chiuso, non per mostrare che non è limitato. O sbaglio?

No, ho appunto detto che un polinomio è una mappa propria.

Mi dispiace ma il 95% di quello che è scritto su quel link non l'ho mai visto ahah, qualche aiuto in più?

Ho semplicemente detto che un polinomio, guardato come funzione, ha la proprietà di mandare compatti in compatti mediante controimmagine; non lo sapevi, ora lo sai, usalo.

E' falso che i polinomi sono tutte mappe proprie; il polinomio \(p(x, y)=xy\) è tale che \(p^{-1}(\{0\})\) non è compatto. Sono mappe proprie i polinomi di una sola variabile.

Ti è almeno noto e ti è possibile utilizzare il fatto che tutte le norme in $\RR^2$ sono equivalenti?

Ricordo che il professore di analisi sconsigliava questi ragionamenti troppo di alto livello; più è alto il livello degli strumenti usati, più è facile dimenticarli o introdurre errori. Quando possibile, meglio fare le cose con le mani.

@anti-spells:
Come dicevi, tu sai che il tuo insieme è chiuso; ti resta quindi da stabilire se esso sia limitato, o no. Motivato dai suggerimenti precedenti, poni
\[
p(x, y):=x^3+xy+y^3.\]
Devi dimostrare che esiste una costante \(C>0\) tale che, se \(|p(x, y)|\le 1\), allora \(x^2+y^2\le C\). Oppure che tale costante non esiste, e che invece esiste una successione \((x_n, y_n)\) tale che \(|p(x_n, y_n)|\le 1\) e \(x_n^2+y_n^2\to \infty\).

Non ci riesci? Amplio il suggerimento. L'insieme è compatto, perché vale la disuguaglianza
\[
x^2+y^2\le C|x^3+xy+y^3|, \]
per una costante \(C>0\). (Questa disuguaglianza mostra immediatamente che l'insieme è contenuto in un disco di raggio \(C\)).

Per dimostrare questa disuguaglianza, considera il rapporto
\[
\frac{x^2+y^2}{x^3+xy+y^3}, \]
e dimostra che è una funzione limitata.

Scusami adesso ci provo, l'esame era stamattina e per fortuna non ha messo un esercizio così (ne ha messo uno sulla completezza di uno SM che era difficile comunque ahah, anzi volevo aprire un topic per discutere proprio di quell'esercizio) . Comunque appena riesco provo a mettermici sotto