Dimostrazione "differenza minore di integrale"

[3m0o]

1) Siano \( f \in C^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}) \) e \( v \in \mathbb{R} \) tale che \( \begin{Vmatrix} v \end{Vmatrix} = 1 \)
per \( x \in \mathbb{R}^n \) notiamo \( g_x := t \to f(x+tv) \) Dimostra che per ogni \( x \in \mathbb{R}^n \)

\( \begin{vmatrix} g'_x(0) \end{vmatrix} \leq \begin{Vmatrix} \nabla f(x) \end{Vmatrix} \)
Dare un criterio di egualità
2) Sia \( \gamma \in C^1([0,1],\mathbb{R}^n) \) una curva paramtetrizzata, tale che \( \forall s \in [0,1] \) risulta \( \begin{Vmatrix} \gamma' (s) \end{Vmatrix} = 1 \) dimostra che
\[ \begin{vmatrix} f(\gamma(0)) - f(\gamma(1)) \end{vmatrix} \leq (\int_{0}^{1} \begin{Vmatrix} \nabla f(\gamma(s)) \end{Vmatrix}^2 ds )^{1/2} \]

1) Io ho fatto così
\( g'_x(0) = D_v f(x) \) dunque visto che \( f \in C^1 \) abbiamo che \( D_vf(x)= \nabla f(x) \cdot v \)
Pertanto \( \begin{vmatrix} g'_x(0) \end{vmatrix}= \begin{Vmatrix} \nabla f(x) \cdot v \end{Vmatrix} \leq \begin{Vmatrix} \nabla f(x) \end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} v \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} \nabla f(x) \end{Vmatrix} \)
Sono uguali se \( v \) colineare a \( x \) ?

2) Ho fatto come segue
\[ \begin{vmatrix} f(\gamma(0)) - f(\gamma(1)) \end{vmatrix}^2 = \begin{vmatrix} g_{\gamma(0)}(0) - g_{\gamma(1)}(0) \end{vmatrix}^2 \leq \int_{0}^{1} \begin{vmatrix} g'_{\gamma(s)}(0) \end{vmatrix}^2ds \leq \int_{0}^{1} \begin{Vmatrix} \nabla f(\gamma(s)) \end{Vmatrix}^2 ds \]

Può andar bene?

[dissonance]

1) v non deve essere collineare a x, ma a \nabla f(x).

[3m0o]

A beh si... grazie