Disuguaglianza di Holder piu integrabilità di funzioni composte

[3m0o]

Sia \( E \subset \mathbb{R}^n \) limitato
1) Siano \( a,b \in \mathbb{R} \) e \( f: E \rightarrow [a,b] \) Riemann integrabile, e \( g \in C^0 ([a,b],\mathbb{R} ) \)
Dimostra che \( h:= g \circ f \) è Riemann integrabile.
2) \( f,g : E \rightarrow \mathbb{R} \) Riemann integrabili e \( p,q \in ]1, + \infty[ \) tale che \( p^{-1} + q^{-1} =1 \) Dimostra che
\( \begin{vmatrix} f \end{vmatrix}^p \) e \( \begin{vmatrix} g \end{vmatrix}^q \) sono Riemann integrabili e dimostra la disuguaglianza di Holder.

1) Allora voglio dimostrare che per ogni \( \epsilon >0 \) esiste una partizione \( P_{\epsilon} = \{ R_i \}_{i=1}^{K} \) di \( E \) tale che \( \bar{S}(h,P_{\epsilon} ) - \underbar{S}(h,P_{\epsilon}) \leq \epsilon \)
Visto che \( [a,b] \in \mathcal{J}(\mathbb{R}) \) ovvero è un compatto ed è Jordan misurabile infatti banalmente
\[ \int_{a}^{b} \mathbf{1}_{[a,b]}(x)dx=b-a \]
E visto che \( g \) continua su \( [a,b] \) allora \( g \) è Riemann integrabile. Pertanto abbiamo che esiste una partizione \( P'_{\epsilon} = \{ R'_i \}_{i=1}^{K'} \) di \( [a,b] \) tale che \( \bar{S}(g,P'_{\epsilon} ) - \underbar{S}(g,P'_{\epsilon}) \leq \epsilon \)
Inoltre abbiamo che
\( \sup_{x \in E} h(x) \leq \sup_{x \in [a,b] } g(x) \) e \( \inf_{x \in E} h(x) \geq \inf_{x \in [a,b]} g(x) \)
Dunque
\[ \bar{S}(h,P_{\epsilon} ) = \sum\limits_{i=1}^{k} \operatorname{Vol}(R_i) \cdot \sup_{x \in R_i} h(x) \leq \sum\limits_{i=1}^{k'} \operatorname{Vol}(R'_i) \cdot \sup_{x \in R'_i} g(x) = \bar{S}(g,P'_{\epsilon} ) \]
In modo analogo proviamo che \( \underbar{S}(h,P_{\epsilon}) \geq \underbar{S}(g,P'_{\epsilon}) \)
Pertanto
\( \bar{S}(h,P_{\epsilon} ) - \underbar{S}(h,P_{\epsilon}) \leq \bar{S}(g,P'_{\epsilon} ) - \underbar{S}(g,P'_{\epsilon}) \leq \epsilon \)
C'è comunque qualcosa che mi turba visto che non utilizzo l'ingerabilità di \( f \)...

2)
Per primo punto della domanda 2 non lo so.
Per la disuguaglianza di Holder:
Se \( f \) o \( g \) sono identicamente nulle allora la disuguaglianza è triviale. Supponiamo entrambe diverse da zero
e poniamo \[ a= \frac{\int \begin{vmatrix} f \end{vmatrix}}{(\int \begin{vmatrix} f \end{vmatrix}^p)^{1/p}} \] e
\[ b= \frac{\int \begin{vmatrix} g \end{vmatrix}}{(\int \begin{vmatrix} g \end{vmatrix}^q)^{1/q}} \]
Utilizziamo la disuguaglianza di Young e otteniamo
\[ ab= \frac{\int \begin{vmatrix} f \end{vmatrix}}{(\int \begin{vmatrix} f \end{vmatrix}^p)^{1/p}} \cdot \frac{\int \begin{vmatrix} g \end{vmatrix}}{(\int \begin{vmatrix} g \end{vmatrix}^q)^{1/q}} \leq \frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q = \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1 \]
Dunque
\[ \int fg \leq \int \begin{vmatrix} f \end{vmatrix} \begin{vmatrix}g \end{vmatrix} \leq (\int \begin{vmatrix} f \end{vmatrix}^p)^{1/p} (\int \begin{vmatrix} g \end{vmatrix}^q)^{1/q} \]