Problema esercizio campo conservativo

[Elia1999]

Salve ho un problema con questo esercizio :

Dato il campo vettoriale \(\displaystyle F=(\frac {1} {z} e^{\frac {x} {z}},z^2 cos(y)+1, -\frac {1} {z^2} e^{\frac {x} {z}} +2z sen(y)) \) determinare l'insieme in cui \(\displaystyle F \in C^1 \), stabilire se e dove F è conservativo e in tale insieme determinare un potenziale. Calcolare inoltre il lavoro compiuto dal campo F per spostare un punto materiale lungo l'arco di curva \(\displaystyle \gamma (t)=(2t+1,t^2,t) \) con \(\displaystyle t\in [1,2] \).

Ora io l'ho svolto così :

\(\displaystyle D_F =\{(x,y,z)\in R^3 : z\neq 0\} \)

Ora siccome D non è semplicemente connesso, non si può stabilire a priori se il campo è conservativo o meno. Quindi è inutile andare a vedere se è anche irrotazionale, ma siccome non sapevo se avevo sbagliato qualcosa prima allora ho deciso di verificare se il rotore è uguale a zero ugualmente :

\(\displaystyle rot F= i(\frac {dF_3} {dy} - \frac {dF_2} {dz})-j(\frac {dF_3} {dx} - \frac {dF_1} {dz})+k(\frac {dF_2} {dx} -\frac {dF_1} {dy})= i(2zcos(y)-2zcos(y))-j(-\frac {1} {z^3} e^{\frac {x} {z}}- \frac {e^{\frac {x} {z}}(x+z)}{z^3}) \)

Ora è inutile che vado a calcolare il coefficiente di k perché quello di j non è uguale a zero quindi ciò implica che il rotore sia diverso da zero. Ho sbagliato qualcosa oppure devo utilizzare qualche altro metodo per vedere se è conservativo. Quando il dominio risultava NON semplicemente connesso la professoressa in genere andava a parametrizzare una curva in base alla forma del campo conservativo, in genere era un'ellisse o una parabola ma pur utilizzando questo metodo in questo specifico caso non saprei parametrizzare la curva.