liminf e limsup

[anti-spells]

Sale, ho alcuni dubbi sugli esercizi con liminf e limsup:

Calcolare liminf e limsup di $a_n=sin((1/2 + nx)\pi) - 1/n , n \to \infty$ per $x in QQ , x>=0$

Allora, ho che $sin((1/2 + nx)\pi) = sin(\pi/2 + nx\pi) = cos(nx\pi)$
Quindi ho che $a_n=cos(nx\pi) - 1/n$ , per $n \to \infty$ studio $cos(nx\pi)$
Sia $x = p/q$ con $p,q in QQ , q>0$ , scelgo una successione crescente di indici $n_k = qk , k in NN$ e ottengo
$cos(nx\pi) = cos(kp\pi)$ da cui liminf = -1 se kp è dispari e limsup = 1 se kp è pari. Può andar bene? Non mi fido molto sinceramente

Invece una domanda senza esercizio: se per studiare liminf e limsup o anche in generale il limite di una successione, mi metto a studiare la successione dei termini pari e dei termini dispari, è necessario che entrambe convergano per determinare se la successione ha limite finito (se una delle due non converge, il limite non esiste, esatto? ) . Ma se studio liminf e limsup, è comunque necessario che entrambe esistano o è possibile che esistano liminf e limsup anche se una delle due successioni non converge (visto che liminf e limsup esistono sempre in qualsiasi caso direi di si, ma non ne sono sicuro). Spero che la mia domanda sia chiara e grazie mille per le risposte