Problema su equazione differenziale

Messaggioda Elia1999 » 18/06/2019, 11:35

Salve ho un problema su questa equazione differenziale :

\(\displaystyle y'=-\frac {y} {t} +arctan(t) \)

L'equazione è presa da un problema di Cauchy, se necessario lo postero. Comunque il problema è che non so come si risolve un'equazione differenziale del genere. Il metodo di somiglianza non si può utilizzare e nemmeno quello a variabili separabili, non né conosco altri. Come dovrei fare ?
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Re: Problema su equazione differenziale

Messaggioda gugo82 » 18/06/2019, 12:01

Variazione delle costanti?
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Re: Problema su equazione differenziale

Messaggioda mobley » 18/06/2019, 12:02

Variazione delle costanti :wink:
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Re: Problema su equazione differenziale

Messaggioda mobley » 18/06/2019, 12:03

Wow, in simultanea :-D
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Re: Problema su equazione differenziale

Messaggioda Elia1999 » 18/06/2019, 13:00

Ok grazie per il suggerimento, ora però ho un problema con l'omogenea associata. L'ho svolta così :

\(\displaystyle r+\frac {1} {t} = 0 \Longrightarrow r=-\frac {1} {t}\)

Quindi la soluzione generale sarà :

\(\displaystyle S=\{c_1 \frac {1} {e} : c_1\in R\}\)

Ora però ho verificato tramite wolfram e mi dice che la soluzione generale dovrebbe essere \(\displaystyle \frac {c_1} {t} \). Dove ho sbagliato e come dovrei risolvere l'omogenea in casi come questo ?
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Re: Problema su equazione differenziale

Messaggioda mobley » 18/06/2019, 13:09

L'omogenea è $ y_0(x)=ce^(-log(x))=c/x $
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Re: Problema su equazione differenziale

Messaggioda Elia1999 » 18/06/2019, 13:39

Scusami non riesco a capire perché hai messo il logaritmo ? Mi potresti anche dire quale è la formula generale per scrivere l'omogenea associata in questi casi ?
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Re: Problema su equazione differenziale

Messaggioda mobley » 18/06/2019, 16:59

Elia1999 ha scritto:Scusami non riesco a capire perché hai messo il logaritmo ?

La forma generale per un EDO lineare del 1° ordine risolvibile tramite variazione delle costanti è $y'(x)=a(x)y(x)+b(x)$, per cui ho solo integrato $a$: $\int-1/x=-log(x)$
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Re: Problema su equazione differenziale

Messaggioda Elia1999 » 18/06/2019, 19:33

Quindi quando ho un'equazione differenziale risolvibile tramite variazioni delle costanti, per calcolarmi la soluzione generale basta che integro la a(x) che moltiplica y(x) ?

Poi in questo caso come la trovo la soluzione particolare ? Ho provato con la formula che tu mi hai postato :

\(\displaystyle y_p=e^{A(x)} \int q(x)e^{A(x)} dx= e^{-ln(t)} \int arctan(t) e^{-ln(t)} dt=\frac {1} {t} \int arctan(t) \frac {1} {t} dt \)
Quell'integrale è impossibile da fare, dove ho sbagliato ?
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Re: Problema su equazione differenziale

Messaggioda gugo82 » 19/06/2019, 00:04

Innanzitutto, conviene che riporti il testo completo dell'esercizio.

Poi, per trovare la soluzione di $y'(t) = - 1/t y(t) + arctan t$ con condizione iniziale $y(t_0) = y_0$ (suppongo $t_0>0$ per comodità) puoi ragionare come segue.
La EDO si riscrive:
\[
y^\prime (t) + \frac{1}{t}\ y(t) =\arctan t\; ;
\]
moltiplicando ambo i membri per $t$ ottieni:
\[
t\ y^\prime (t) + y(t) =t\ \arctan t\; ,
\]
cioè:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ t\ y (t)\right] =t\ \arctan t\; .
\]
Dall'uguaglianza dei due membri segue l'uguaglianza delle loro funzioni integrali con stesso punto iniziale, dunque:
\[
\int_{t_0}^t \frac{\text{d}}{\text{d} \tau} \left[ \tau \ y (\tau)\right]\ \text{d}\tau = \int_{t_0}^t \tau\ \arctan \tau\ \text{d} \tau
\]
e perciò:
\[
t\ y(t) = t_0y_0 + \int_{t_0}^t \tau\ \arctan \tau\ \text{d} \tau\;.
\]
L'ultimo integrale si calcola per parti e, fatto ciò, per ricavare $y(t)$ basta dividere ambo i membri per $t$.
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