da gugo82 » 19/06/2019, 00:04
Innanzitutto, conviene che riporti il testo completo dell'esercizio.
Poi, per trovare la soluzione di $y'(t) = - 1/t y(t) + arctan t$ con condizione iniziale $y(t_0) = y_0$ (suppongo $t_0>0$ per comodità) puoi ragionare come segue.
La EDO si riscrive:
\[
y^\prime (t) + \frac{1}{t}\ y(t) =\arctan t\; ;
\]
moltiplicando ambo i membri per $t$ ottieni:
\[
t\ y^\prime (t) + y(t) =t\ \arctan t\; ,
\]
cioè:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ t\ y (t)\right] =t\ \arctan t\; .
\]
Dall'uguaglianza dei due membri segue l'uguaglianza delle loro funzioni integrali con stesso punto iniziale, dunque:
\[
\int_{t_0}^t \frac{\text{d}}{\text{d} \tau} \left[ \tau \ y (\tau)\right]\ \text{d}\tau = \int_{t_0}^t \tau\ \arctan \tau\ \text{d} \tau
\]
e perciò:
\[
t\ y(t) = t_0y_0 + \int_{t_0}^t \tau\ \arctan \tau\ \text{d} \tau\;.
\]
L'ultimo integrale si calcola per parti e, fatto ciò, per ricavare $y(t)$ basta dividere ambo i membri per $t$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)