Sommabilità, serie di funzioni

[Smon97]

a) Determinare il dominio e studiare la derivabilità della funzione

$F(x)=\int_{0}^{x^(1/2)} (logt)/((1+t)t^(1/2)) dt$

b) studiare il carattere della serie $\sum_{n=1}^(+oo) f(1/n)$

Ho svolto il punto a

Dominio $f(t)=]0, +oo[$
ho verificato se 0 appartiene al dominio, cioè ho studiato la sommabilità in 0 dell 'integrale, cioè

$lim_(x->0^+) log(t)/((1+t)t^(1/2)) * 1/(x-1)^alpha =-oo$

con $1/(x-1)^alpha$ indico la funzione test dell integrale improprio di 2 specie

poi l 'integrale non converge per qualsiasi scelta di alpha 0 non appartiene al dominio.

$F'(x)=( log(x^(1/2)))/((1+x^(1/2))x^(1/4)) *1/(2x^(1/2))$


Per il punto b invece come devo procedere ?

[gugo82]

Scriviti gli addendi della serie e fai considerazioni sull'ordine di infinitesimo.

[Smon97]

la serie sarebbe:

$\int_{0}^{sqrt(x)} \sum_{n=1}^(+oo) log(1/n)/((1+1/n) sqrt(1/n)) dx$

e studio questa come serie di funzione giusto?

[pilloeffe]

Ciao Smon97,

Per il punto b invece come devo procedere ?

Beh, come richiesto, studiare il carattere della serie

$ \sum_{n=1}^{+\infty} f(1/n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (log(1/n))/((1+1/n)(1/n)^(1/2)) = \sum_{n=1}^{+\infty} (\sqrt{n}log(1/n))/((1+1/n)) $

che fra l'altro si vede subito che è divergente dato che non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $