Calcolo del flusso uscente da una superficie con teorema della divergenza

Salve, volevo chiedervi se ho svolto in maniera corretta il seguente esercizio :

Dato il campo \(\displaystyle F=(-2yz, -2xz, \frac {z} {x^2+y^2+1}) \). Calcolare il flusso uscente di F attraverso la frontiera del dominio \(\displaystyle D=\{ (x,y,z)\in R^3 : z\geq x^2+y^2, 1\leq z\leq 4\} \).

Siccome il dominio è un cilindro ho utilizzato le coordinate polari di quest'ultimo :

\(\displaystyle \begin {cases} x=\rho cos(\Theta ) \\ y=\rho sen(\Theta ) \\ z=z \end {cases} \)

\(\displaystyle \begin {cases} 0\leq \Theta \leq 2\pi \\ -2\leq \rho \leq 2 \\ 1\leq z \leq 4 \end {cases} \)

\(\displaystyle \iiint_{D} \frac {1} {x^2+y^2+1} dxdydz = 3\int_{-2}^{2} \int_{0}^{2\pi} \frac {1} {\rho ^2+1} \rho d\rho d\Theta =6\pi [\frac {1} {2} ln(\rho ^2+1)]_{-2}^{2}=0\)

Scusate se nel calcolo dell'integrale non ho incluso tutti i passaggi ma ci avrei messo troppo tempo.

Ci sono degli errori secondo me. In primo luogo il dominio non è un cilindro ma un pezzo di paraboloide. Poi \( \rho \) è di default sempre positivo, tu lo "fai appartenere" a \( (-2,2)\).

Concordo con obnoxious, inoltre è una funzione sempre positiva e quindi non può venire nullo l'integrale.
Poi hai due limitazioni sul basso date da $z \geq 1$ e $z \geq \rho^2$, perciò devi discutere $z \geq \max{1,\rho^2}$ e spezzare l'integrale nella somma di due integrali.

Le coordinate cilindriche come le hai scritte sono giuste, ma $\rho$ è un raggio e quindi per definizione $\rho \geq 0$; ora devi discutere quel massimo perché hai due limitazioni dal basso su $\rho$, se ti fai un disegno del paraboloide capirai meglio perché va discusso quel massimo.

Proprio non riesco a capire, \(\displaystyle \rho \) quali valori dovrebbe assumere ?

Ultima modifica di Elia1999 il 18/06/2019, 20:31, modificato 1 volta in totale.

Molto dipende dall'ordine di integrazione, se vuoi integrare prima in $z$ come hai fatto nel primo tentativo di risoluzione risulta che: $\rho \geq 0$ per definizione perché è un raggio, poi hai che $\rho^2 \leq \z \leq 4 \Rightarrow \rho \leq 2$ e perciò $\rho \in [0,2]$.
Così facendo però hai da discutere in $z$ il massimo come scritto prima, perché $z$ non varia costantemente ma dipende da $\rho$ (se ti fai un disegno vedi perché).

Edit: Elia1999 se puoi non cancellare i messaggi per favore, oppure la discussione diventa illeggibile per chi la rilegge in futuro.

Ma quando mi parli di massimo intendi che quando vado ad integrare nella variabile z dovrei integrare da \(\displaystyle \rho^2 \) a 4 ? O proprio dovrei trovare il massimo ?

Scusami se ho cancellato il messaggio è solo che l'ho inviato senza leggere il tuo

Scusate il ritardo della risposta. Comunque l'esercizio l'ho svolto così :

Ho utilizzato le coordinate cilindriche

\(\displaystyle \begin {cases} x=\rho cos(\Theta ) \\ y=\rho sen(\Theta ) \\ z=z \end {cases} \)

\(\displaystyle \begin {cases} 0\leq \Theta \leq 2\pi \\ 0\leq \rho \leq 2 \\ \rho ^2\leq z \leq 4 \end {cases} \)

\(\displaystyle divF= 0+0+\frac {1} {x^2+y^2+1} \)

\(\displaystyle \iiint_D divF \space dxdydz=\int_0^2 \int_0^{2\pi} \int_{\rho ^2}^4 \frac {\rho} {\rho ^2+1} dzd\Theta d\rho =\int_0^2 \int_0^{2\pi} \frac {\rho} {\rho ^2+1} [z]_{p^2}^4 d\Theta d\rho =\int_0^2 \int_0^{2\pi} \frac {4\rho} {\rho ^2+1} -\frac {\rho ^3} {\rho ^2+1} d\Theta d\rho =\int_0^2 \frac {4\rho} {\rho ^2+1} [\Theta]_0^{2\pi} -\frac {\rho ^3} {\rho ^2+1} [\Theta]_0^{2\pi} d\rho =\frac {8\pi} {2}\int_0^2 \frac {2\rho} {\rho ^2+1} d\rho -2\pi \int_0^2 \frac {\rho ^3} {\rho ^2+1} d\rho = 4\pi [ln|\rho ^2+1|]_0^2 -2\pi [\frac {\rho ^2} {2} - \frac {1} {2} ln|\rho ^2+1|]_0^2 =4\pi ln|5|-4\pi +\pi ln|5|=5\pi ln |25|-4\pi \)

Ciao Elia,
ti dico come l'ho risolto io. Premesso che potrebbe essere tutto sbagliato. Il dominio è un tronco di cono capovolto. Abbiamo una circonferenza di base che giace sul piano z = 1 con raggio r = 1 e con l'aumentare della quota (fino a 4) il raggio della circonferenza si allarga fino a r = 2.

Quindi sapendo che passerò alle coordinate cilindriche posso già mettere giù qualche parametro.

\(\displaystyle \begin {cases}1 \leq t \leq 4 \\ 0 \leq \theta \leq 2\pi \\ 1 \leq \rho \leq 2 \end {cases} \)ù

\(\displaystyle div F = \frac{1}{1+\rho^2} \)

quindi l'integrale della divergenza già espresso il coordinate cilindriche e con il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione (\(\displaystyle |T| = \rho \)) è:

\(\displaystyle \iiint_{D'}\frac{\rho}{1+\rho^2}d\rho\ d\theta\ dt = \int_{1}^{4} dt\ \int_0^{2\pi}d\theta\int_{1}^2\frac{\rho}{1+\rho^2}\ d\rho \)

che ponendo \(\displaystyle s = 1 + \rho^2 \implies d\rho = \frac{ds}{2\rho} \) e convertendo gli estremi di integrazione:

\(\displaystyle \int_{1}^{4} dt\ \int_0^{2\pi}d\theta\int_{2}^5\frac{1}{2s}\ ds = 3 \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2}log\frac{5}{2} = 3\pi\cdot log\frac{5}{2} \)

[...] Il dominio è un tronco di cono capovolto. [...]

No, è un "pezzo" di paraboloide, come dicevo sopra. Un cono è qualcosa del tipo \( z = c \sqrt{x^2 + y^2}\).