Massa, momento di inerzia, baricentro di un cono

Messaggioda PatrizioC » 19/06/2019, 17:00

Ciao, ho il seguente esercizio:

Testo
Dato un cono \(\displaystyle D = {(x,y,z)|x^2+y^2<=(1-z)^2, 0<=z<=1} \) e densità \(\displaystyle \rho(x,y,z) = z \) calcolare:
1) Massa
2) Coordinate del baricentro
3) Momento di inerzia

Soluzione
1) La massa \(\displaystyle M \) è l'integrale su tutto il dominio \(\displaystyle D \) della densità \(\displaystyle \rho \), allora:

\(\displaystyle M = \iiint_D z\ dx\ dy\ dz \) passando alle coordinate cilindriche

\(\displaystyle \begin{cases} x = \phi\ cos\theta \\ y = \phi\ sin\theta \\ z = t\ \end{cases},\ 0<= \theta <= 2\pi \ ,\ 0<=t<=1 \implies \ \phi <= (1-t)^2 \implies 0 <= \phi <= 1 \)

quindi

\(\displaystyle \iiint_D t\phi\ d\phi\ dt\ d\theta = \int_0^1\int_0^{2\pi}\int_0^1 t\phi\ d\phi\ d\theta\ dt = \int_0^1 \phi\ d\phi\ \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^1 t\ dt = (\frac{1}{2}\phi^2\bigg\rvert_0^1) \cdot 2\pi \cdot (\frac{1}{2}t^2 \biggr\rvert_0^1) = \frac{\pi}{2} \)

2) Baricentro di coordinate \(\displaystyle P = (\overline{x},\overline{y}, \overline{z}) \)

\(\displaystyle \overline{x} = \frac{1}{M}\iiint_{D'}t\phi^2cos\theta\ d\phi\ dt\ d\theta = \frac{2}{\pi}\int_0^1t\ dt\int_0^1\phi^2\ d\phi\int_0^{2\pi}cos\theta\ d\theta = 0 \)

per simmetria \(\displaystyle \overline{y} = \overline{x} = 0 \)

invece \(\displaystyle \overline{z} = \frac{2}{\pi} \iiint_{D'}t^2\phi d\phi\ dt\ d\theta = \frac{2}{\pi}\int_0^1 t^2 dt \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_0^1 \phi\ d\phi = \frac{1}{3} \)

3) Momento di inerzia

\(\displaystyle \iiint_{D'} (\phi^2 + t^2)\cdot t\cdot\phi\ d\phi\ dt\ d\theta = 2\pi\cdot\int_0^1(\int_0^1\phi^2\cdot t\ dt + \int_0^1 t^3\ dt)d\phi = \frac{5}{6}\pi \)

Dico bene?

Grazie a chi mi risponderà.
PatrizioC
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Re: Massa, momento di inerzia, baricentro di un cono

Messaggioda Quinzio » 19/06/2019, 22:12

PatrizioC ha scritto:
quindi

\(\displaystyle \iiint_D t\phi\ d\phi\ dt\ d\theta = \int_0^1\int_0^{2\pi}\int_0^1 t\phi\ d\phi\ d\theta\ dt = \int_0^1 \phi\ d\phi\ \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^1 t\ dt = (\frac{1}{2}\phi^2\bigg\rvert_0^1) \cdot 2\pi \cdot (\frac{1}{2}t^2 \biggr\rvert_0^1) = \frac{\pi}{2} \)


Occhio, guarda gli estremi di integrazione.

\(\displaystyle \int_0^1\int_0^{2\pi}\int_0^{1-t} t\phi\ d\phi\ d\theta\ dt \)
Quinzio
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Re: Massa, momento di inerzia, baricentro di un cono

Messaggioda PatrizioC » 20/06/2019, 11:00

Grazie per la risposta. In effetti con gli estremi di integrazione che ho usato si tratta di un cilindro...
Allora con gli estremi di integrazione corretti diventa:

1) \(\displaystyle M = \iiint_{D'}\ t\phi\ d\phi\ d\theta\ dt = \int_0^{2\pi}\ d\theta \int_0^1\ t\left(\int_0^{1-t}\ \phi\ d\phi\right)dt = 2\pi\int_0^1\frac{t\cdot(1-t)^2}{2}\ dt=\left[\frac{t^2}{4}+\frac{t^4}{8}-\frac{t^3}{3}\right]_0^1 = \frac{\pi}{12}\)

2) Anche con gli estremi di integrazione sbagliati \(\displaystyle \overline{x} = \overline{y} = 0 \) invece per \(\displaystyle \overline{z} = \frac{12}{\pi}\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1\left(\int_0^{1-t}\phi\ t^2\ d\phi\right)dt = 12\cdot\left[\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}-\frac{t^4}{2}\right]_0^1 = \frac{6}{15} \)

\(\displaystyle P = \left(0,0,\frac{6}{15}\right) \)

3) Momento di Inerzia
\(\displaystyle I=\int_0^{2\pi}d\theta \int_0^1 \left(\int_0^{1-t}(\phi^2 + t^2)\cdot t\cdot\phi\ d\phi\right)dt = 2\pi \left(\int_0^1\ \frac{t\cdot(1-t)^4}{4}dt + \int_0^1\ \frac{t^3(1-t)^2}{2}dt\right) = \frac{4\pi}{15}\)

Ho dei dubbi sui punti 2) e 3) sinceramente...
PatrizioC
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Re: Massa, momento di inerzia, baricentro di un cono

Messaggioda Quinzio » 21/06/2019, 22:04

L"impostazione adesso e' corretta, anche i calcoli mi sembrano corretti.
Quinzio
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Re: Massa, momento di inerzia, baricentro di un cono

Messaggioda PatrizioC » 22/06/2019, 10:01

Grazie per il riscontro Quinzio :wink:
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