Ciao, ho il seguente esercizio:
Testo
Dato un cono \(\displaystyle D = {(x,y,z)|x^2+y^2<=(1-z)^2, 0<=z<=1} \) e densità \(\displaystyle \rho(x,y,z) = z \) calcolare:
1) Massa
2) Coordinate del baricentro
3) Momento di inerzia
Soluzione
1) La massa \(\displaystyle M \) è l'integrale su tutto il dominio \(\displaystyle D \) della densità \(\displaystyle \rho \), allora:
\(\displaystyle M = \iiint_D z\ dx\ dy\ dz \) passando alle coordinate cilindriche
\(\displaystyle \begin{cases} x = \phi\ cos\theta \\ y = \phi\ sin\theta \\ z = t\ \end{cases},\ 0<= \theta <= 2\pi \ ,\ 0<=t<=1 \implies \ \phi <= (1-t)^2 \implies 0 <= \phi <= 1 \)
quindi
\(\displaystyle \iiint_D t\phi\ d\phi\ dt\ d\theta = \int_0^1\int_0^{2\pi}\int_0^1 t\phi\ d\phi\ d\theta\ dt = \int_0^1 \phi\ d\phi\ \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^1 t\ dt = (\frac{1}{2}\phi^2\bigg\rvert_0^1) \cdot 2\pi \cdot (\frac{1}{2}t^2 \biggr\rvert_0^1) = \frac{\pi}{2} \)
2) Baricentro di coordinate \(\displaystyle P = (\overline{x},\overline{y}, \overline{z}) \)
\(\displaystyle \overline{x} = \frac{1}{M}\iiint_{D'}t\phi^2cos\theta\ d\phi\ dt\ d\theta = \frac{2}{\pi}\int_0^1t\ dt\int_0^1\phi^2\ d\phi\int_0^{2\pi}cos\theta\ d\theta = 0 \)
per simmetria \(\displaystyle \overline{y} = \overline{x} = 0 \)
invece \(\displaystyle \overline{z} = \frac{2}{\pi} \iiint_{D'}t^2\phi d\phi\ dt\ d\theta = \frac{2}{\pi}\int_0^1 t^2 dt \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_0^1 \phi\ d\phi = \frac{1}{3} \)
3) Momento di inerzia
\(\displaystyle \iiint_{D'} (\phi^2 + t^2)\cdot t\cdot\phi\ d\phi\ dt\ d\theta = 2\pi\cdot\int_0^1(\int_0^1\phi^2\cdot t\ dt + \int_0^1 t^3\ dt)d\phi = \frac{5}{6}\pi \)
Dico bene?
Grazie a chi mi risponderà.