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salve , mi servirebbe una mano nel comprendere come svolgere il punto 2 del seguente esercizio .
1) determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale : $ y'''+2y''+y= 2e^x $
2) determinare se possibile una curva integrale che abbia la retta $y=-2$ come asintoto orizzontale per x $\to$ $ infty$

l'integrale generale mi viene $ y(x)= c_1 + c_2 e^-x +c_3 x e^-x +(e^x)/2 $ , mentre per il punto 2 non so veramente come muovermi .

Ciao Castiel96,

Castiel96 ha scritto:1) determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale: $y'''+2y''+y=2e^x $

Sicuro del testo?
Perché se il testo è quello che hai scritto la soluzione non è quella che hai trovato...
L'equazione caratteristica dell'omogenea associata mi risulta

$\lambda^3 + 2\lambda^2 + 1 = 0 $

che è una cubica con una soluzione reale e due complesse...
Probabile testo corretto:

$y'''+2y''+y'=2e^x $

In tal caso l'equazione caratteristica dell'omogenea associata è

$\lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda = 0 $

da cui le soluzioni $\lambda_1 = 0 $ e $\lambda_{2,3} = - 1 $ e l'integrale generale che hai scritto.
Per quanto riguarda il secondo punto:

Castiel96 ha scritto:2) determinare se possibile [...]

Cosa accade alla soluzione che hai scritto se $x \to +\infty $? E se invece $x \to -\infty $? Assegnando opportuni valori alle costanti è possibile soddisfare la richiesta dell'esercizio proposto?

si hai perfettamente ragione , ho sbagliato a scrivere l'equazione differenziale . infatti è proprio $ y'''+2y''+y'=2e^x$ .
mentre per il punto 2 devo studiare il $\lim_{x \to \+ infty}y(x)= c_1 + c_2 e^-x +c_3 x e^-x +(e^x)/2 $ e il $\lim_{x \to \ -infty}y(x)= c_1 + c_2 e^-x +c_3 x e^-x +(e^x)/2 $ ?? entrambi dovrebbero essere infinito e non so come assegnare in questo caso gli opportuni valori alle costanti .

Beh, per il primo non c'è molto da fare perché se $ x \to +\infty $ il termine $ e^x/2 $ non è "controllabile"...
Invece per $x \to -\infty $ se $c_1 = - 2 $ e $c_2 = c_3 = 0 $ ...

quindi la curva integrale è $ y(x) = -2 + (e^x)/2 $ ??

Beh, la risposta puoi trovarla da solo: è vero che $\lim_{x \to -\infty} y(x) = - 2 $ ?