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Sia ${f_n}_n$ una successione di funzioni reali definite in un intervallo $(a,b)$. Supponiamo che la successione ${f_n}_n$ converga puntualmente in $(a,b)$ ad una funzione limitata $f$ e che, $AA n\inNN, EE x_n\in (a,b) $ tale che la successione numerica ${f_n(x_n)}_n$ diverga.
provare che ${f_n}_n$ non converge uniformemente.

Ho provato a farlo così, ma credo che ci sia qualche errore:
Per convergere puntualmente vuol dire che
$\lim_{n \to \infty } f_n(x)=f(x)=f AAx\in(a,b) $
Per convergere puntualmente si ha:
$\lim_{n \to \infty }$ Sup $|f_n(x)-f(x)|=0 $

Ma poiché per convergere uniformemente la successione numerica ${f_n(x_n)}_n$ deve convergere, ma per ipotesi la mia successione numerica diverge si ha che la successione di funzione ${f_n}_n$ non può convergere uniformemente.

E' giusto questo procedimento?

Smon97 ha scritto:Per convergere puntualmente si ha:
$lim_(n->+infty)$ Sup $|f_n(x)−f(x)|=0$

forse volevi scrivere per convergere uniformemente(?)
Sostanzialmente non dimostri; considerando che nemmeno sfrutti le ipotesi.

E' molto semplice, basta sfruttare le seguenti disuguaglianze


quindi se $f_n(x_n)->+infty$ allora $norm(f_n-f)_(infty)->+infty$


un esempio può essere la successione $f_n(x)=1+1/(nx)$ in $(0,1)$
la successione di funzioni converge puntualmente alla funzione limitata $f(x)=1$ su $(0,1)$

se si considera la successione ${x_n=1/n^2}_(n in NN)$ si nota subito che $f(x_n)=1+n->+infty$

infatti non converge uniformemente.

sisi intendevo uniformemente e non puntualmente.
Grazie.