Coordinate polari per limiti in due variabili

Messaggioda jas123 » 27/06/2019, 18:01

Vorrei riaprire una discussione risalente a un po' di anni fa circa i limiti di funzioni in due variabili, la domanda era:
passando da coordinate cartesiane a polari, nello svolgimento di un limite, e constatando l'esistenza del limite in coordinate polari è possibile concludere che il limite esiste anche in coordinate cartesiane?
Fino a qualche giorno fa ero convinto che la risposta a questo quesito fosse sì, a patto di dimostrare l'esistenza del limite in coordinate polari mediante una un disequazione (maggiorando e minorando la funzione con 2 funzioni indipendenti dalla variabile $ theta $ ), tuttavia di recente mi sono imbattuto in un limite piuttosto semplice, che però metteva in crisi la mia ipotesi: $ lim_((x,y) -> (0,0)) x^2/(x^2+y^4) $
Si dimostra facilmente che il limite non esiste, infatti $ lim_((t,t) -> (0,0)) t^2/(t^2+t^4)=1 $ mentre $ lim_((t^2,t) -> (0,0)) t^4/(t^4+t^4)=1/2 $
Tuttavia svolgendolo in coordinate polari si ottiene $ lim_(rho -> 0) (rho^2cos^2theta)/(rho^2cos^2theta+rho^4sin^4theta)=lim_(rho -> 0)(cos^2theta)/(cos^2theta+rho^2sin^4theta)=cos^2theta/(cos^2theta+lim_(rho -> 0)rho^2sin^4theta) $ dunque adesso procediamo a dimostrare che $ lim_(rho -> 0)rho^2sin^4theta = 0 $ : $ 0 <= lim_(rho -> 0) |rho^2sin^4theta|<= lim_(rho -> 0) rho^2 => lim_(rho -> 0)rho^2sin^4theta=0 $ ,si potrebbe quindi cconcludere che $ lim_(rho -> 0) (rho^2cos^2theta)/(rho^2cos^2theta+rho^4sin^4theta)=1 $ ma questo risulta assurdo visto che il limite non esiste.
Voi che ne pensate?
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Re: Coordinate polari per limiti in due variabili

Messaggioda mobley » 27/06/2019, 20:45

Stai dimenticando il modulo. E' quello che ti consente di sfruttare le proprietà necessarie al calcolo in coordinate polari.
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Re: Coordinate polari per limiti in due variabili

Messaggioda obnoxious » 28/06/2019, 15:10

jas123 ha scritto:[...] Voi che ne pensate?

Le coordinate polari funzionano bene quando si riesce a fare una maggiorazione uniforme in \( \theta \). Di fatto, nel tuo calcolo, stai assumendo che \(\theta\) sia costante, e cioè stai parametrizzando (alcune) rette. In realtà in coordinate polari una curva può essere qualcosa del tipo \( (\rho, \theta(\rho)) \). Del resto è sufficiente considerare la retta \( (\rho, \pi /2 ) \), ed il quoziente \( \cos^2 \theta / (\cos^2 \theta + \rho^2 \sin^4 \theta)\) diventa costantemente \( = 0\). Questo conferma la non esistenza del limite anche in coordinate polari.
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Re: Coordinate polari per limiti in due variabili

Messaggioda jas123 » 28/06/2019, 17:04

Credo di aver capito, grazie per la delucidazione, quindi per esegruire correttamente il limite avrei dovuto impostare una disequazione del tipo: $ 0<= lim_(rho -> 0) | (cos^2theta)/(cos^2theta+rho^2sin^4theta)-1|=lim_(rho -> 0) rho^2 (sin^4theta)/(cos^2theta +rho^2sin^2theta) <= lim_(rho -> 0) g(rho) : g(rho)-> 0 $ , che però è impossibile da ottenere poichè $ lim_(rho -> 0) | (cos^2theta)/(cos^2theta+rho^2sin^4theta)-1|=lim_(rho -> 0) rho^2 (sin^4theta)/(cos^2theta +rho^2sin^2theta) $ e $ (sin^4theta)/(cos^2theta +rho^2sin^2theta) $ non è limitata superiormente.
In conclusione si potrebbe dire che il mio errore è stato affermare che $ lim_(rho -> 0)(cos^2theta)/(cos^2theta+rho^2sin^4theta)=cos^2theta/(cos^2theta+lim_(rho -> 0)rho^2sin^4theta) $ ?
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Re: Coordinate polari per limiti in due variabili

Messaggioda obnoxious » 29/06/2019, 11:47

jas123 ha scritto:[...]
In conclusione si potrebbe dire che il mio errore è stato affermare che $ lim_(rho -> 0)(cos^2theta)/(cos^2theta+rho^2sin^4theta)=cos^2theta/(cos^2theta+lim_(rho -> 0)rho^2sin^4theta) $ ?

No, il passaggio è corretto, e quel limite è \(=1\), ma se e solo se \( \theta \ne \pi/2 + k \pi \). Questo succede perché in questo frangente le coordinate polari non portano alcun valore aggiunto allo studio del limite. Perché quel limite esista, deve esistere per la restrizione \( f(x(t),y(t)) \) a tutte le curve \( (x(t),y(t) ) \to 0 \) per \( t \to 0 \). Mentre invece nel passaggio citato esiste, fa \(1\), ma non lungo la retta \( (0,y) \) (che in coordinate polari è \( (\rho, \pi/2 ) \)).
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Re: Coordinate polari per limiti in due variabili

Messaggioda jas123 » 29/06/2019, 20:02

[...] Questo succede perché in questo frangente le coordinate polari non portano alcun valore aggiunto allo studio del limite.

intendi che in questo caso le coordinate polari si limitano a fornire una visione ''sulle rette'' e non su tutte le funzioni del limite?
Se sì, qual è secondo te il passaggio critico?
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Re: Coordinate polari per limiti in due variabili

Messaggioda obnoxious » 24/04/2020, 18:33

jas123 ha scritto:[...]
intendi che in questo caso le coordinate polari si limitano a fornire una visione ''sulle rette'' e non su tutte le funzioni del limite? [...]

In realtà il tuo calcolo è corretto lungo "tante curve" del tipo \( (\rho, \theta(\rho))\), non solo lungo rette, ma fallisce lungo l'asse delle \(y\). Come dicevo, di solito le coordinate polari sono utili quando si riesce a fare una maggiorazione uniforme in \( \theta\). Per esempio non è chiaro quanto faccia \[ \lim_{(x,y) \to (0,0) } \frac{x^3}{x^2 + y^2} \]ma passando a polari si ha chiaramente \[ \left|\frac{x^3}{x^2 + y^2} \right| = |\rho \cos^3 \theta | \le \rho \to 0.\]Tuttavia \[ \frac{x^2}{x^2 + y^2} = \cos^2 \theta \]quindi il passaggio a polari conferma, se non altro, che il limite dipende da \( \theta \), e quindi dalla direzione lungo cui ci si avvicina all'origine. Ma la non esistenza di un limite di solito si prova facilmente con le cartesiane, il che rende inutile passare alle polari.


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