Dimostrazione forme differenziali chiuse in aperti rettangolari

[jak98dp]

Salve
Ho incontrato una difficoltà nello studio della dimostrazione riportata nel Marcellini, Sbordone, Fusco - Elementi di analisi 2 del teorema sulle forme differenziali chiuse in aperti rettangolari.

Dunque, sia $ A $ aperto di tipo rettangolare, $ omega $ forma differenziale chiusa in $ A $
allora $ omega $ è esatta in $A$

La dimostrazione è abbastanza semplice: preso $A$ aperto di tipo rettangolare in $R^2$ viene fissato un punto $ (x_0,y_0)in A $ e $ AA (x,y)in A $ , $ Gamma $ è la curva parametrica formata dai due segmenti $ gamma _1, gamma _2 $ con $ gamma _1=(t,y_0) , tin[x_0, x] $ e $ gamma _2=(x,t) , tin[y_0, y] $
A questo punto si definisce una funzione $U$ e bisogna dimostrare che è potenziale di $ omega $
Viene esplicitato l'integrale curvilineo di $omega$ su $Gamma$ nella maniera seguente

$ U(x,y)=int_Gamma omega =int_(x_0)^x a_1(t,y_0)dt + int_(y_0)^y a_2(x,t)dt$

Ora basterebbe derivare la funzione U rispetto a $x$ e a $y$ per verificare che $omega$ è esatta e la dimostrazione è finita. Il mio problema però è proprio in quest'ultimo passaggio, la dimostrazione segue con la derivata di $U$ rispetto a $y$, ovvero:

$ (partial U)/(partial y)=(partial )/(partial y) int_(y_0)^y a_2(x,t)dt $

Per il teorema di derivazione sotto il segno di integrale posso portare la derivata parziale all'interno dell'integrale e il libro riporta che per il teorema fondamentale del calcolo integrale:

$ (partial U)/(partial y)=int_(y_0)^y(partial )/(partial y) a_2(x,t)dt = a_2(x,y) $

Perchè questo è vero? Se avendo una generica $F(x)$ per lo stesso teorema ottengo $ int_a^b F'(x)dx=F(b)-F(a) $ in questo caso che fine fa " $ -a_2(x,y_0) $ "

Al passaggio successivo poi la cosa mi è diventata ancor meno chiara, derivando rispetto a x:

$(partial U)/(partial x)=(partial )/(partial x) int_(y_0)^y a_1(t,y_0)dt +(partial )/(partial x) int_(y_0)^y a_2(x,t)dt $

Che sfruttando l'ipotesi di $omega$ chiusa diventa:

$ (partial U)/(partial x)= int_(x_0)^x (partial )/(partial x)a_1(t,y_0)dt + int_(y_0)^y (partial )/(partial y)a_1(x,t)dt $

Infine, utilizzando sempre il teorema fondamentale del calcolo integrale si ottiene:

$ (partial U)/(partial x)= a_1(x,y_0)dt + a_1(x,y)-a_1(x,y_0)= a_1(x,y) $

A questo punto la mia domanda è: perchè applica il teorema fondamentale in due modi differenti? Quando viene effettuata la derivata rispetto a y di U come detto sopra manca il secondo membro che dovrebbe risultare dall'integrale mentre quando deriva rispetto a x intanto deriva sia il primo integrale curvilineo che il secondo e quando li deriva in uno manca il termine negativo (come per $partial y$) e nell'altro invece li mette entrambi per ottenere alla fine solo $a_1(x,y)$

Non riesco proprio a capire che cosa mi sta sfuggendo, ho provato anche a cercare la dimostrazione di questo teorema da altre fonti ma ottengo solo risultati riguardanti le forme differenziali chiuse in aperti semplicemente connessi.
Grazie in anticipo per l'aiuto

[gugo82]

Per quanto riguarda $(partial)/(partial y) int_(y_0)^y a_2(x,t) text(d) t$ non serve a nulla portare la Derivazione sotto al segno d’integrale.
Come si calcola la derivata di una funzione integrale?

[jak98dp]

Grazie mille, ora è tutto molto più chiaro e si spiegano tutti gli altri passaggi.
Chiaramente derivando l'integrale il secondo termine non compare perché è moltiplicato per la derivata di $y_0$ che però è costante e quindi lo annulla.
La stessa cosa invece non accade nel secondo passaggio proprio perché passando la derivata sotto il segno di integrale compaiono tutti e due i termini così da poter elidere quelli di troppo tra loro e lasciare solo quello che serve per la dimostrazione.
Grazie ancora