[Limiti] Problema Limite con radice con grado superiore al cubo

[PippoP]

Ciao a tutti,
Ho un problema con un limite:
$ \lim_(x \to \infty) x(\root(3)(2+x^6) - \root(5)(3+x^10)) $

Grazie mille in anticipo!

[Mephlip]

Ciao, che cosa hai provato?
Che strumenti conosci per risolvere i limiti? Taylor puoi utilizzarlo?

[gugo82]

Ho un problema...

E come hai pensato di risolverlo?

[pilloeffe]

Ciao PippoP,

Benvenuto sul forum!

Così ad occhio il limite proposto è nullo:

$ \lim_(x \to \infty) x(\root(3)(2+x^6) - \root(5)(3+x^10)) = 0 $

[PippoP]

Grazie della Risposta!
pilloeffe hai ragione il limite tende a 0, gugo82 Taylor si potrei utilizzarlo ma volevo sapere se esisteva una soluzione anche con altri metodi, come limiti notevoli o con "trucchetti algebrici"
Io ho provato a tirare fuori la x dalle radici, quindi uscirebbe un x^2 su entrambe e poi moltiplicandolo per x, si ottiene un x^3 che viene moltiplicato su entrambe le radici, ma ancora limite notevole con \(\displaystyle [\infty\cdot0] \)

Domani vi posto tutti i passaggi che ho provato, incluso quello appena descritto. Vi ringrazio ancora per la risposta immediata e buona serata.
A domani!

[gugo82]

Beh, per limiti notevoli ed eliminazione degli infinitesimi d’ordine superiore, hai:

$ \lim_(x \to \infty) x(\root(3)(2+x^6) - \root(5)(3+x^10)) = lim_(x -> oo) x^3 (\root(3)(1+ 2/x^6) - 1 + 1 - \root(5)(1+ 3/x^10)) = lim_(x -> oo) x^3 ( 2/(3x^6) + text(o)(1/x^6) - 3/(5x^(10)) + text(o) (1/x^(10))) = lim_(x -> oo) (2x^3)/(3x^6) = …$

[PippoP]

Grazie gugo82,
Non mi è chiara la parte in cui tiri fuori dalle radici, per il resto è tutto chiaro!
Grazie ancora

[pilloeffe]

Non mi è chiara la parte in cui tiri fuori dalle radici, [...]

Cosa c'è che non ti è chiaro? Nella prima radice cubica ha raccolto sotto radice $x^6 $ e poi estratto la radice cubica e quindi il risultato è $x^2 $; analogamente nella seconda radice quinta ha raccolto sotto radice $x^10 $ e poi estratto la radice quinta e quindi il risultato è ancora $x^2 $
Facendo esclusivo uso dei limiti notevoli, in particolare del limite notevole $\lim_{f(x) \to 0}\frac{[1 + f(x)]^a - 1}{f(x)} = a $, avrei fatto così:

$\lim_(x \to \infty) x(\root(3)(2+x^6) - \root(5)(3+x^10)) = \lim_(x \to \infty) x^3(\root(3)(1 + 2/x^6) - \root(5)(1 + 3/x^10)) = $
$ = \lim_(x \to \infty) x^3[\root(3)(1 + 2/x^6) - 1 - (\root(5)(1 + 3/x^10) - 1)] = $
$ = \lim_(x \to \infty) [\frac{\root(3)(1 + 2/x^6) - 1}{1/x^3} - \frac{\root(5)(1 + 3/x^10) - 1}{1/x^3}] = $
$ = \lim_(x \to \infty) [\frac{\root(3)(1 + 2/x^6) - 1}{2/x^6}\cdot 2/x^3 - \frac{\root(5)(1 + 3/x^10) - 1}{3/x^10} \cdot 3/x^7] = 1/3 \cdot 0 - 1/5 \cdot 0 = 0 $