Limite con funzioni trigonometriche, valore assoluto e parametro

[marcolinus00]

Buongiorno a tutti, premetto di essere nuovo nel Forum. Avrei bisogno di un aiuto nella risoluzione del seguente limite al variare del parametro α (mi scuso se per alcuni potrà sembrare una banalità, ma proprio non riesco a venirne a capo ) :

$ lim_{x \to 0} \frac {arctan(sinx)-xcosx}{x^{6-|\alpha|}arctan(cosx) $

escludendo il caso in cui $ \alpha=\pm 6 $ (questo sono riuscito a farlo ).
Ringrazio in anticipo chiunque possa aiutarmi.

[Mephlip]

Ciao, benvenuto!
Cosa hai provato a fare? Hai sviluppato con Taylor il numeratore?
Scrivici i passaggi, almeno possiamo verificare eventuali errori; in generale è sempre utile vedere come qualcuno approccia il problema per dare un aiuto.

[marcolinus00]

$ lim_{x \to 0} \frac{1}{arctan(cosx)} \frac{arctan(sinx)-xcosx}{x^{6-|\alpha|} } = \frac{4}{\pi} lim_{x \to 0} \frac{arctan(sinx)-xcosx}{x^{6-|\alpha|} } $Ciao, grazie per la risposta fulminea . Credo di aver risolto, almeno in parte, ecco cosa ho fatto:
1. Ho separato in due pezzi: $ lim_{x \to 0} \frac{1}{arctan(cosx)} \frac{arctan(sinx)-xcosx}{x^{6-|\alpha|} } = \frac{4}{\pi} lim_{x \to 0} \frac{arctan(sinx)-xcosx}{x^{6-|\alpha|} } $

2. Usando gli sviluppi di Taylor al numeratore:

$ arctan(sinx)-xcosx = $
$ =x-\frac{x^3}{2}+\frac{3}{8}x^5+o(x^5)-x(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+o(x^6)) =$
$ = (\frac{3}{8}-\frac{1}{24})x^5+o(x^5) = \frac{1}{3}x^5+o(x^5) $

Quindi ho asserito che $ arctan(sinx)-xcosx \quad ~_{x \to 0} \quad \frac{1}{3}x^5 $.

3. Si ha che: $ \frac{4}{\pi} lim_{x \to 0} \frac{arctan(sinx)-xcosx}{x^{6-|\alpha|} } = \frac{4}{3\pi} lim_{x \to 0} \frac{x^5}{x^{6-|\alpha|} } = \frac{4}{3\pi} lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{1-|\alpha|} } $

dunque: \( \lim_{x \to 0} {f(x)}=
\begin{cases}
\infty & -1<\alpha<1\\
\frac{4}{3\pi} & \alpha=\pm1\\
0 & \alpha<-1 \vee \alpha>1
\end{cases} \)
(non ho valutato più esplicitamente il primo caso poichè mi interessava solo sapere dove il limite valeva zero).


Sperando di non aver fatto errorii di trascrizione, credi possa essere corretto?

[Mephlip]

Mi viene esattamente come te le uniche cose che mi sento di dirti sono che:
1) Non si va al limite a pezzi, quindi ti devi portare dietro $\arctan \cos x$ fino alla fine;
2) L'$o$-piccolo va inserito anche al numeratore del limite dopo aver fatto i conti a parte, poi raccoglierai $x^5$ e la frazione $\frac{x^5}{o(x^5)}$ tenderà a zero.

[pilloeffe]

Attenzione solo che per $- 1 < \alpha < 1 $ il limite proposto non esiste ed invece esiste se $x \to 0^+ $