Differenziabilità di funzioni in più variabili

Ciao! domanda veloce: le funzioni in due variabili definite a tratti come questa:

\( f(x,y)= \)

\( {\frac{x^3+x^2y^2-x^2y+xy^2-y^3}{x^2+y^2}} \) quando \( (x,y)\neq (0,0) \)

\( 0 \) quando \( (x,y) = (0,0) \)

non sono mai differenziabili nell'orgine in quanto non sono ivi derivabili, giusto?
Grazie!

Risposta veloce: e che ne sai che non è derivabile?

Bhe non lo so effettivamente ora che guardo un po' meglio la funzione (in quanto svolgendo i prodotti del numeratore della derivata è possibile che si semplifichi il denominatore), ma il mio ragionamento era partito col vedere che le derivate parziali avevano entrambe denominatore \( (x^2 + y^2)^2 \) e che quindi non fossero definite nell'orgine

Se un ragionamento non si basa su qualcosa di tangibile, tipo qualche controllo, è solo una perdita di tempo.

Fai i conti.

Sono d'accordo con lei, è solo che il mio dubbio si estendeva ad una sfilza di funzioni che avevano il denominatore di quella forma e forse ho scelto l'unico esempio diverso dagli altri in cui c'era la possibilità di semplificarlo. Comunque svolgendo completamente la derivata il denominatore non si semplifica dunque non è derivabile, giusto?

Non c'entra nulla la semplificazione.
Devi verificare che una funzione sia derivabile: come fai?

Controllo se le derivate parziali della funzione esistono in un determinato punto (ovviamente per verificare la derivabilità in un punto)

Appunto.
Fai questo controllo e poi ragioni, non viceversa.

Sono d'accordo con lei, è solo che il mio dubbio si estendeva ad una sfilza di funzioni che avevano il denominatore di quella forma e forse ho scelto l'unico esempio diverso dagli altri in cui c'era la possibilità di semplificarlo. Comunque svolgendo completamente la derivata il denominatore non si semplifica dunque non è derivabile, giusto?

quello che intendevo dire è che ho calcolato le derivate parziali e, non semplificandosi il denominatore che rimane
\( (x^2+y^2)^2 \) , le derivate non sono definite in (0,0) e quindi la funzione non è derivabile in quel punto. Forse sto sbagliando qualcosa ma non capisco cosa, quindi scusi XD

Fai vedere i conti che fai...