Dimostrazione semplice

[jimbolino]

Ciao,

vorrei dimostrare qualcosa che uso quotidianamente eppure non so bene come farlo per quanto semplice.
Quel che vorrei fare è mostrare che una funzione f(x) con una immagine che sia $Im(f)=[0,+oo)$ moltiplicata per un parametro che vari tra 0 e 1 (ossia $c*f(x)$ con $c\in[0,1]$) assume come immagine gli stessi valori di $f(x)$.
Insomma che copra lo stesso intervallo, è evidente ma perché accade?

Non so proprio come fare

[jimbolino]

Grazie per l'imbeccata di usare la definizione di immagine ma.... non so trovare i perché.

Mi sembra in particolare che per esistere quella $x$ devo invertire $y=cf(x)$ devo quindi avere l'invertibilità di f(x)?

[jimbolino]

Hai ragione!

Resta inoltre il fatto che mi sento bloccato perhé non so mostrare che ce ne sia una!

[gugo82]

Il che vuol dire che non hai capito la definizione di immagine di una funzione.

Qual è la definizione?
Cosa devi dimostrare?
Formalizza, sù…

[jimbolino]

Esatto gugo, nella prima edizione del post precedente avevo proprio scritto che mi si era aperto un dubbio sulla definizione di immagine di funzione (dubbio di cui non mi ero mai accorto e me ne vergogno ammetto dopo tanto tempo -almeno da ottobre scorso quando la vidi-).

Il dubbio era riferito al fatto che non mi saltasse all'occhio il perché la definizione richiedesse l'esistenza di almeno una x. Però nel mentre che editavo il messaggio mi sono accorto che si richiede esista "almeno una" è dovuto al fatto che una funzione per essere tale basta che abbia come argomento ogni elemento del dominio (cioè lo copra tutto) ma nessuno impedisce che quel per ogni elemento esiste un unico elemento del codominio possa essere un elemento dacui partono due "freccette".

Questo a parole, in scrittura più compatta la definizione (vado a memoria apposta per sforzarmi) dovrebbe essere che l'immagine è il sottoinsieme del codominio data dagli elementi che soddisfano la seguente:

sono gli elementi $y\inB$ tali che esiste una $x\inA$ tale che $y=f(x)$
ove siano A dominio e B codominio.

Il punto ora sarebbe capire come mostrare che quell'x esista almeno uno per ogni y data da $cf(x)$

[gugo82]

La definizione è giusta.

Cosa significa in pratica?
Beh, significa che $y in text(Im)f sub B$ se e solo se l’equazione $f(x) = y$ nell’incognita $x$ ha almeno una soluzione in $A$.

Detto ciò e tornando al tuo problema, nelle ipotesi poste su $f$ e $c$, vuoi dimostrare che l’equazione $c*f(x) = y$ ha almeno una soluzione in $A$ per ogni fissato $y >= 0$.
Come fare?
Beh, la prima cosa che può venirti in mente è sfruttare il fatto che l’equazione $f(x) = y$ ha almeno una soluzione per ogni $y >= 0$.
Come lo sfrutti questo fatto?
Mah, la prima cosa che dovrebbe venirti in mente è trasformare $c*f(x) = y$ in modo che al primo membro rimanga solo $f(x)$.
Questo lo sai fare?

Fatto ciò, hai finito.

[jimbolino]

Grazie, chiarissimo!

Buona giornata gugo

[gugo82]

Grazie per il complimento… Ma preferirei che postassi la tua dimostrazione.

[jimbolino]

Ah allora forse non è così chiaro perché mi sembrava terminata..

Avevo capito che sfruttando l'ipotesi che $f(x)$ ha almeno una soluzione per $y$ positivi o uguali a zero, isolando a primo membro la $f(x)$ avrò a secondo membro $y/c$, ma poiché sempre per ipotesi $c>=0$ allora quel rapporto è sicuramente positivo.
Ho quindi di nuovo $y'=f(x)$ che risulta automaticamente soddisfatta.

[gugo82]

Bravo.

Una dimostrazione non è terminata finché non è scritta come si deve.