Dominio massimale equazione differenziale di secondo ordine non omogenea

Salve mi trovo di fronte a questo problema:
$\{(y''(x)-4y(x)=e^(-2x)),(y(0)=0),(lim_{x \to +\infty}y(x)=0):}$
Il testo chiede di determinare la soluzioni del problema e calcolare il dominio massimale della soluzione.
La soluzione dell'omogenea associata mi viene:
$\y_0=c_1e^(2x)+c_2e^(-2x)$
Mentre la soluzione particolare:
$\y_P=-1/4xe^(-2x)$
Ammettendo che queste due soluzione sono esatte (per la soluzione particolare ho utilizzato il metodo per somiglianza) mi chiedo come determinare il dominio massimale della soluzione.
Ho pensato che essendo la soluzione composta da tutti fattori esponenziali il dominio massimale sia:
$\(-\infty, +\infty)$
Tuttavia non credo sia esatto, non ho neanche la soluzione.
Grazie mille in anticipo

Ciao paolods99,

La soluzione che hai trovato è corretta:

$y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1e^(2x)+c_2e^(-2x) -1/4xe^(-2x) $

Ora per risolvere il problema devi imporre le due condizioni; per la prima $y(0) = 0 $ si ha:

$0 = y(0) = c_1 + c_2 $

Per la seconda deve essere $\lim_{x \to +\infty} y(x) = 0 $, e siccome l'unico termine "incontrollabile" se $x \to +\infty $ è quello con $c_1 $ è necessario che sia $c_1 = 0 \implies c_2 = 0 $
Quindi in definitiva la funzione che risolve il problema proposto è la seguente:

$y_p(x) = -1/4xe^(-2x) $

Grazie mille, allora ci ho visto giusto.
Invece per determinare il dominio massimale della soluzione come dovrei fare?
Risolvendo i problemi di Cauchy e in generale le equazioni differenziali ordinarie, ho difficoltà nel trovare il dominio massimale della soluzione. Anche perchè non ho ben capito cosa si intenda per dominio massimale

non ho ben capito cosa si intenda per dominio massimale

Il più grande insieme di definizione della soluzione

quindi in questo caso il dominio massimale è:
$\(-\infty, +\infty)$
dal momento che non vi sono punti di discontinuità?

Diciamo che la funzione è necessariamente priva di discontinuità visto che essendoci $y’’$ deve essere almeno derivabile e quindi continua. Piuttosto l’insieme massimale è $RR$ perché le soluzioni sono combinazioni lineari di funzioni che sono definite su tutto $RR$

Considera che le soluzioni uscenti da una equazione differenziale di almeno primo ordine sono sempre continue quando esistono.