Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.
11/07/2019, 22:42
Ciao, non riesco a svolgere per intero questo esercizio:
$ int(4x-5)/(x^2-2x+10) dx $
io ho iniziato così:
$ int (4x-4-1)/(x^2-2x+10) dx $
$ int (4x-4)/(x^2-2x+10) dx- int 1/(x^2-2x+10) dx $
$ int (2(2x-2))/(x^2-2x+10) dx- int 1/(x^2-2x+10) dx $
$2 int ((2x-2))/(x^2-2x+10) dx- int 1/(x^2-2x+10) dx $
questa parte qui: $2 int ((2x-2))/(x^2-2x+10) dx$ è uguale al $ln(x^2-2x+10)$
ma non riesco a capire come continuare con $int 1/(x^2-2x+10) dx$, un aiuto?
11/07/2019, 22:46
Prova a completare il quadrato al denominatore e cercare di ricondurti all'integrale che ha come primitiva l'arcotangente.
12/07/2019, 00:13
Ciao, iniziamo subito.
Le radici del polinomio al denominatore sono complesse, difatti il delta è negativo.
Esse sono \(\displaystyle 1\pm 3i \)
Posso allora riscrivere il trinomio di secondo grado come \(\displaystyle (x-1)^2+9 \)
\(\displaystyle \int \frac{1}{(x-1)^2+9}dx \)
Sostituisco \(\displaystyle t = \frac{x-1}{3} \) e risulta \(\displaystyle dx = 3dt \)
\(\displaystyle \int \frac{3}{9t^2+9}dt \)
\(\displaystyle \frac{1}{3} \int \frac{1}{t^2+1}dt \)
Che è proprio
\(\displaystyle \frac{\arctan t}{3}+c \)
cioè, sostituendo
\(\displaystyle \frac{\arctan \frac{x-1}{3}}{3}+c \)
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