Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda 3m0o » 13/07/2019, 15:50

obnoxious ha scritto:Sostanzialmente corretto, ma non passerei al \( \sup \) sugli \(i \). Basta dire così: sia \( M > 0 \); per le motivazioni che adduci esisterà \( \bar{i} \) tale che \( M < \sum_{\tilde{\mathcal{A}_\bar{n}} ^{(i)}} f(x) \) diciamo per ogni \( i \ge \bar{i} \). Ma \( M \) è arbitrario, quindi ad un certo punto "sorpassi" la quantità \( \sum_{A \in \mathcal{P}} |f(x)| \). Contraddizione che deriva dall'aver assunto \( \mathcal{A}_\bar{n} \) di cardinalità infinita.


Okay grazie mille, e poi dopo aver dimostrato che $\forall n $, \( \mathcal{A}_n \in \mathcal{P} \) il seguito del mio ragionamento è corretto? In particolare il modo in cui dimostro che \( \sup_{n \in \mathbb{N}} a_n < +\infty \) ?
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda 3m0o » 13/07/2019, 15:55

Il fatto è che mi sembra strano il fatto che \( \sup_{n \in \mathbb{N} } a_n < + \infty \) perché siccome \( \forall n \) abbiamo \( a_n \in \mathbb{N} \) e in particolare avendo \( a_n \leq a_{n+1} \) vuol dire che \( \exists N \in \mathbb{N} \) tale che \( \forall n<N \) risulta \( a_n \leq a_{n+1} \) e \( \forall n\geq N \) \( a_n = a_N \)
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda obnoxious » 13/07/2019, 16:01

3m0o ha scritto:Il fatto è che mi sembra strano il fatto che \( \sup_{n \in \mathbb{N} } a_n < + \infty \) [...]

Lo è (strano), stavo giusto pensandoci. Tra l'altro se così fosse, avremmo \[ \sum \frac{a_n}{n^2 \log^2 (n)} \le C \sum \frac{1}{n^2} < \infty \]senza tirare in ballo integrali (che peraltro è un risultato molto più forte). Devo pensarci un attimo.
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda obnoxious » 13/07/2019, 16:23

Ok, penso che un modo per vederlo sia usando la disuguaglianza di Chebyshev con la counting measure. La counting measure è sostanzialmente la cardinalità dell'insieme. Assumendo che \(f \) sia misurabile rispetto alla counting measure \( \mu \), abbiamo che \[ a_n = \# (\mathcal{A}_n ) = \mu(\mathcal{A}_n)\le n \int_{\mathcal{A}_n} |f| \, d \mu = n \sum_{\mathcal{A}_n} |f(x)| \le C n. \]Quindi \[ \sum \frac{a_n}{n^2 \log^2 (n)} \le C \sum \frac{1}{n \log^2 (n)} < \infty \qquad (*). \]
Ovviamente immagino che tutto ciò esuli dalle conoscenze ammesse all'esame, quindi bisogna trovare qualche trucco più elementare...

Edit. Barando, perché l'argomento sopra ci suggerisce la via, proviamo a dimostrare il seguente fatto: esiste una costante positiva \( C > 0 \) tale che \( a_n \le C n \) per ogni \( n \in \mathbb{N} \). Supponiamo infatti che questo sia falso. Allora per ogni \( K \in \mathbb{N} \) esiste un \( \bar{n}(K) \in \mathbb{N} \) tale che \( a_n > K n\) per \( n \ge \bar{n}\). Fissiamo un \(K\); si ha \[K=\frac{K \bar{n}(K)}{\bar{n}(K)}< \sum_{\mathcal{A}_{\bar{n}(K)}} f(x) \le \sup_{A \in \mathcal{P} } \sum |f(x)| < \infty. \]Ma \(K\) è arbitrario e \( \mathcal{A}_{\bar{n}(K)}\) ha cardinalità finita, contraddizione. Concludi usando \( (*)\).
Ultima modifica di obnoxious il 13/07/2019, 16:55, modificato 1 volta in totale.
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda obnoxious » 13/07/2019, 16:55

Ho editato il post precedente, mi scuso per aver scritto tre messaggi di fila.
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda 3m0o » 13/07/2019, 17:11

obnoxious ha scritto:Ok, penso che un modo per vederlo sia usando la disuguaglianza di Chebyshev con la counting measure. La counting measure è sostanzialmente la cardinalità dell'insieme. Assumendo che \(f \) sia misurabile rispetto alla counting measure \( \mu \), abbiamo che \[ a_n = \# (\mathcal{A}_n ) = \mu(\mathcal{A}_n)\le n \int_{\mathcal{A}_n} |f| \, d \mu = n \sum_{\mathcal{A}_n} |f(x)| \le C n. \]Quindi \[ \sum \frac{a_n}{n^2 \log^2 (n)} \le C \sum \frac{1}{n \log^2 (n)} < \infty \qquad (*). \]
Ovviamente immagino che tutto ciò esuli dalle conoscenze ammesse all'esame, quindi bisogna trovare qualche trucco più elementare...

Edit. Barando, perché l'argomento sopra ci suggerisce la via, proviamo a dimostrare il seguente fatto: esiste una costante positiva \( C > 0 \) tale che \( a_n \le C n \) per ogni \( n \in \mathbb{N} \). Supponiamo infatti che questo sia falso. Allora per ogni \( K \in \mathbb{N} \) esiste un \( \bar{n}(K) \in \mathbb{N} \) tale che \( a_n > K n\) per \( n \ge \bar{n}\). Fissiamo un \(K\); si ha \[K=\frac{K \bar{n}(K)}{\bar{n}(K)}< \sum_{\mathcal{A}_{\bar{n}(K)}} f(x) \le \sup_{A \in \mathcal{P} } \sum |f(x)| < \infty. \]Ma \(K\) è arbitrario e \( \mathcal{A}_{\bar{n}(K)}\) ha cardinalità finita, contraddizione. Concludi usando \( (*)\).

Vabbe non ci sarei mai arrivato a fare una cosa di questo tipo, soprattutto perché non ho idea di cosa sia il counting measure e la disugaglianza di Chebyshev. Detto ciò non capisco una disuguaglianza
\[\frac{K \bar{n}(K)}{\bar{n}(K)}< \sum_{\mathcal{A}_{\bar{n}(K)}} f(x) \]
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda obnoxious » 13/07/2019, 17:18

3m0o ha scritto:[...] non capisco una disuguaglianza
\[\frac{K \bar{n}(K)}{\bar{n}(K)}< \sum_{\mathcal{A}_{\bar{n}(K)}} f(x) \]

E' conseguenza diretta del fatto che in \( \mathcal{A}_{\bar{n}(K)} \), per definizione, \( f > 1/\bar{n}(K) \) e che, per l'assurdo assunto, \( a_{\bar{n}(K)} = \# ( \mathcal{A}_{\bar{n}(K)}) > K \bar{n}(K) \).
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda anto_zoolander » 13/07/2019, 18:49

se può servire ho provato a mostrare così la finitezza della successione

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
pongo $E_n={x in RR: f(x)>1/n}$ e $a_n=#(E_n)$ per ogni $n in NN$

supponiamo che esista un $m in NN$ per cui $a_m=aleph_0$; in questo modo si può scrivere

$E_m={x_i : i in NN}$ con $#(E_m)=aleph_0$

a questo punto si considera $E_(m,n)={x_i in E_m: ileqn}$

$sum_(x in E_(m,n))abs(f(x))=sum_(i=1)^(n)abs(f(x_i))$

LHS è minore di una certa quantità finita per ogni $n in NN$ pertanto RHS, essendo una successione monotona, potrà converge o divergere ma per quella uguaglianza deve necessariamente convergere.

visto che $sum_(i=1)^(+infty)abs(f(x_i)) in RR$ allora $abs(f(x_i))-> 0$ il che è assurdo poichè per ipotesi $f(x_i)>1/m$

dovrebbe avere senso
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda obnoxious » 13/07/2019, 18:57

anto_zoolander ha scritto:se può servire ho provato a mostrare così la finitezza della successione [...]

Non ho capito, vuoi dimostrare che la cardinalità dei singoli - per usare la tua notazione - \( E_n \) è finita o che la successione \( a_n \) è limitata (fatto molto probabilmente falso)?
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda anto_zoolander » 13/07/2019, 19:04

che gli $E_n$ hanno cardinalità finita e quindi che gli $a_n$ sono finiti
sulla limitatezza di $a_n$ non mi sono professato infatti :-D

stavo studiando e mi è sembrato di capire che ci fosse questo problema ma magari ho capito male :?
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