Re: Esercizio d'esame analisi 1.
Inviato: 15/07/2019, 12:52@dissonance: una cosa stupida, ti sei perso il quadrato del logaritmo (senza il quale quella serie diverge).
dissonance ha scritto:obnoxious ha scritto:Ok, penso che un modo per vederlo sia usando la disuguaglianza di Chebyshev con la counting measure. La counting measure è sostanzialmente la cardinalità dell'insieme.
In realtà questa è una cosa ovvia, solo che detta così con le misure sembra spaventosa. Infatti, per definizione, \(x\in A_n\) se e solo se \(f(x)>\frac1n\). Quindi,
\[
\sum_{x\in A_n} f(x)>\sum_{x\in A_n} \frac{1}{n}=\frac{1}{n} \#A_n.\]
Come già notato da obnoxius, questa semplice osservazione porta subito alla soluzione dell'esercizio: difatti, per quanto appena detto, \(a_n=\#A_n\) verifica \(a_n\le Cn\) per una costante \(C>0\) e quindi
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^2\log n} \le \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\log n}<\infty.\]
Chiaro, però la costante \( C \) dipende da \( n \), nel senso \( C \geq \#A_n \), corretto?