Esercizio d'esame analisi 1.

@dissonance: una cosa stupida, ti sei perso il quadrato del logaritmo (senza il quale quella serie diverge).

Ok, penso che un modo per vederlo sia usando la disuguaglianza di Chebyshev con la counting measure. La counting measure è sostanzialmente la cardinalità dell'insieme.

In realtà questa è una cosa ovvia, solo che detta così con le misure sembra spaventosa. Infatti, per definizione, \(x\in A_n\) se e solo se \(f(x)>\frac1n\). Quindi,
\[
\sum_{x\in A_n} f(x)>\sum_{x\in A_n} \frac{1}{n}=\frac{1}{n} \#A_n.\]

Come già notato da obnoxius, questa semplice osservazione porta subito alla soluzione dell'esercizio: difatti, per quanto appena detto, \(a_n=\#A_n\) verifica \(a_n\le Cn\) per una costante \(C>0\) e quindi
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^2\log n} \le \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\log n}<\infty.\]

Chiaro, però la costante \( C \) dipende da \( n \), nel senso \( C \geq \#A_n \), corretto?

Ho aggiornato il post precedente, aggiungendo il quadrato sul logaritmo e rispondendo all'obiezione di 3m0o.

Una considerazione finale. Questo esercizio non è difficile come sembra, è solo formulato in una maniera tale da renderlo più simile a un problema di ricerca. (Si potrebbe dire che è formulato con cattiveria). Se la consegna fosse stata: "dimostrare che \(a_n=O(n)\)", sarebbe stato molto più facile.