Le sfere in $\mathbb{R}^m$ sono insiemi compatti

[Silent]

Dal libro di analisi che sto leggendo, viene proposta questa dimostrazione per la compattezza della sfera:



Non riesco veramente a capire cosa vuole mostrare da quando introduce la funzione:

$$(x^1,...,x^m)\mapsto {(x^1)}^2+...+{(x^k)}^2-{(x^{k+1})}^2-...-{(x^m)}^2$$

in poi.

Io l'avrei dimostrato così:

1. le sfere sono insiemi chiusi perché preso un punto di accumulazione $\mathbf{x}_0$ per l'insieme $S(\mathbf{0},r)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^m|f(\mathbf{x}):=(x^1)^2+...+(x^m)^2=r\}$, dalla continuità della funzione $f$ si ha che:

$$f(\mathbf{x}_0)=f\left(\lim_{S(\mathbf{0},r) \ni \mathbf{x}\to \mathbf{x}_0}\mathbf{x}\right)=\lim_{S(\mathbf{0},r) \ni \mathbf{x}\to \mathbf{x}_0} f(\mathbf{x})=\lim_{S(\mathbf{0},r) \ni \mathbf{x}\to \mathbf{x}_0}r=r \Rightarrow \mathbf{x}_0 \in S(\mathbf{0},r)$$

2. le sfere sono insiemi limitati perché:

$$\sup_{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\in S(\mathbf{0},r)}d(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2)\leq \sup_{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\in S(\mathbf{0},r)}d(\mathbf{x}_1,\mathbf{0}) +d(\mathbf{0},\mathbf{x}_2)= 2\cdot r$$


I miei passaggi contengono problemi?

[caulacau]

Quella non è più la dimostrazione che la sfera è compatta; finisce quando hai detto che è chiusa e limitata. Il resto è teorema di Weierstrass, una funzione continua su un compatto ha su quel compatto massimo e minimo; poi, per continuità, si deve anche annullare in almeno un punto.

[Silent]

Ok grazie, ma quindi cosa voleva far vedere con quella seconda parte della dimostrazione?
Quella funzione che ha introdotto si annulla in qualche punto sulla sfera, e allora?

[caulacau]

¯\_(ツ)_/¯

[Silent]

Non ne hai idea neanche tu? Bene

[caulacau]

No, non è che non ne ho idea, è che si tratta di un esempio che hai estrapolato da un contesto. Se è un libro per fisici, che fa mischioni improponibili di concetti che andrebbero formalmente distinti, è possibile sia semplicemente scritto da un fisico. Se è un libro di matematica, ma sta parlando del teorema di Weierstrass, ha senso che esso appaia in un esempio. Se quell'esempio appare dal nulla, è semplicemente scritto in maniera confusa.

In ogni caso, è solo un modo di chiamare in causa il teorema di W.: una funzione continua su un compatto ammette minimax assoluto.