Dal libro di analisi che sto leggendo, viene proposta questa dimostrazione per la compattezza della sfera:
Non riesco veramente a capire cosa vuole mostrare da quando introduce la funzione:
$$(x^1,...,x^m)\mapsto {(x^1)}^2+...+{(x^k)}^2-{(x^{k+1})}^2-...-{(x^m)}^2$$
in poi.
Io l'avrei dimostrato così:
1. le sfere sono insiemi chiusi perché preso un punto di accumulazione $\mathbf{x}_0$ per l'insieme $S(\mathbf{0},r)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^m|f(\mathbf{x}):=(x^1)^2+...+(x^m)^2=r\}$, dalla continuità della funzione $f$ si ha che:
$$f(\mathbf{x}_0)=f\left(\lim_{S(\mathbf{0},r) \ni \mathbf{x}\to \mathbf{x}_0}\mathbf{x}\right)=\lim_{S(\mathbf{0},r) \ni \mathbf{x}\to \mathbf{x}_0} f(\mathbf{x})=\lim_{S(\mathbf{0},r) \ni \mathbf{x}\to \mathbf{x}_0}r=r \Rightarrow \mathbf{x}_0 \in S(\mathbf{0},r)$$
2. le sfere sono insiemi limitati perché:
$$\sup_{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\in S(\mathbf{0},r)}d(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2)\leq \sup_{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\in S(\mathbf{0},r)}d(\mathbf{x}_1,\mathbf{0}) +d(\mathbf{0},\mathbf{x}_2)= 2\cdot r$$
I miei passaggi contengono problemi?