Simbolo di Landau $\mathcal{o}$ in $\mathbb{R}^m$

[Silent]

Nel libro Mathematical Analysis I, edizione 1, sec. 8.1, pag. 432, l'autore Zorich introduce il simbolo di Landau \(\displaystyle \mathcal{o} \) anche per funzioni \(\displaystyle f:X\to \mathbb{R}^m \) e \(\displaystyle g:X\to\mathbb{R}^n \).

In particolare scrive che con la scrittura \(\displaystyle f\underbrace{=}_{\mathcal{B}}\mathcal{o}(g) \), dove \(\displaystyle \mathcal{B} \) è una base (https://en.wikipedia.org/wiki/Base_(topology)) su $X$, dice che bisogna intedere:

$$\left \| f(x) \right \|_{\mathbb{R}^m}\underbrace{=}_\mathcal{B}\mathcal{o} \left \| f(x) \right \|_{\mathbb{R}^n}$$

facendo riferimento alla nota definizione per funzioni in \(\displaystyle \mathbb{R} \), cosa che non riesco comunque bene a capire cosa voglia dire.


Io ho sempre scritto \(\displaystyle h\underbrace{=}_{\mathcal{B}}\mathcal{o}(u) \) (h e u funzioni in \(\displaystyle \mathbb{R} \) e di variabile reale) intendendo che in un qualche insieme di \(\displaystyle \mathcal{B} \) vale che \(\displaystyle h(x)=\alpha(x)u(x) \) con \(\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\alpha(x)=0 \).
Nel caso generalizzato che propone Zorich, dovrei intendere che esiste una funzione \(\displaystyle \alpha:X\to\mathbb{R} \) tale che: \(\displaystyle \left \| f(x) \right \|_{\mathbb{R}^m}=\alpha(\mathbf{x})\left \| f(x) \right \|_{\mathbb{R}^n} \) e \(\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\alpha(\mathbf{x})=0 \)?
In sostanza generalizzerei il dominio di \(\displaystyle \alpha \).
Mi verrebbe da dire che l'importante è che $X$ abbia una metrica, giusto?

[caulacau]

Perché gli serve dare la definizione restringendosi a una base?

[Silent]

Come la daresti tu?
Non ho capito cosa mi vuoi dire per questo chiedo maggiori dettagli.

[caulacau]

Beh, nello stesso modo, ma senza restringersi a una base: due funzioni vettoriali come nelle sue notazioni sono nella relazione \(f \in og\) se le funzioni scalari \(|f|,|g|\) sono tali che \(|f|\in o|g|\).

La definizione di $o$ non fa uso di una base, fa semplicemente uso della nozione di limite. Poi, certo, se quella condizione è vera su una base è vera sulla topologia generata da quella base, ma...

[Silent]

Ok, ti ringrazio.