Nel libro Mathematical Analysis I, edizione 1, sec. 8.1, pag. 432, l'autore Zorich introduce il simbolo di Landau \(\displaystyle \mathcal{o} \) anche per funzioni \(\displaystyle f:X\to \mathbb{R}^m \) e \(\displaystyle g:X\to\mathbb{R}^n \).
In particolare scrive che con la scrittura \(\displaystyle f\underbrace{=}_{\mathcal{B}}\mathcal{o}(g) \), dove \(\displaystyle \mathcal{B} \) è una base (https://en.wikipedia.org/wiki/Base_(topology)) su $X$, dice che bisogna intedere:
$$\left \| f(x) \right \|_{\mathbb{R}^m}\underbrace{=}_\mathcal{B}\mathcal{o} \left \| f(x) \right \|_{\mathbb{R}^n}$$
facendo riferimento alla nota definizione per funzioni in \(\displaystyle \mathbb{R} \), cosa che non riesco comunque bene a capire cosa voglia dire.
Io ho sempre scritto \(\displaystyle h\underbrace{=}_{\mathcal{B}}\mathcal{o}(u) \) (h e u funzioni in \(\displaystyle \mathbb{R} \) e di variabile reale) intendendo che in un qualche insieme di \(\displaystyle \mathcal{B} \) vale che \(\displaystyle h(x)=\alpha(x)u(x) \) con \(\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\alpha(x)=0 \).
Nel caso generalizzato che propone Zorich, dovrei intendere che esiste una funzione \(\displaystyle \alpha:X\to\mathbb{R} \) tale che: \(\displaystyle \left \| f(x) \right \|_{\mathbb{R}^m}=\alpha(\mathbf{x})\left \| f(x) \right \|_{\mathbb{R}^n} \) e \(\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\alpha(\mathbf{x})=0 \)?
In sostanza generalizzerei il dominio di \(\displaystyle \alpha \).
Mi verrebbe da dire che l'importante è che $X$ abbia una metrica, giusto?